2020年度 渋谷教育学園幕張中学入試問題【算数】大問5解説

図のように底面が正方形の角すいP-ABCDがあります。
三角形APBと三角形APDはどちらも角Aが直角の直角三角形です。
4つの辺AB、BC、CD、DA上にそれぞれ点Q、R、S、Tをとります。
直線QSと直線AD、直線TRと直線ABはそれぞれ平行で、
BR:RC=AQ:QBです。

このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。
また、立体のすべての面の面積をたし合わせたものを表面積といいます。

(1)
辺AP、AB、PBの長さがそれぞれ4cm、3cm、5cmのとき、
角すいP-ABCDの表面積は何cm2ですか。

(2)
この立体を点Qと点Sを通るように底面に垂直な平面で切り、
さらに点Tと点Rを通るように底面に垂直な平面で切り、
切り取ってできた面にだけ色をぬります。
点A、B、Cを含む立体をそれぞれ立体X、Y、Zとし、
立体Yと立体Zの体積の比を4:1とするとき、次の各問いに答えなさい。

立体Xと立体Zの体積の比をもっともかんたんな整数の比で表しなさい。


立体Zにおいて、色をぬった部分の面積と、
色をぬっていない部分の面積の比が1:4のとき、
立体Xと立体Zの表面積の比をもっともかんたんな整数の比で表しなさい。


@解説@
(1)

疑問に思われやすいのは、∠PBCが直角であるかだろうか(‘Д’)
平行線を頼りに立体Yが三角柱であることをつかめば、
手前側の四角形が長方形であると想像できる。
3×4÷2×2+3×5÷2×2+3×3=36cm2

2)①
Y:Zの体積比しかわかっていないという…。
しかもYの三角柱は横を向いており、側面の三角形の面積がわからず、
BR:RC=AQ:QBの値も不明で、もどかしさに駆られる(´・_・`)

このような補助線をひけば見えてくるんじゃないでしょうか(σ’д’)σ
ポイントは、すべてを直方体に変えてしまう
同じ図形に統一すれば、辺の比が出しやすくなる。

体積比は、Z:Y=①:④
奥の直方体は四角錘Zの3倍なので、①×3=③
手前の直方体は、三角柱Yを2倍したもので、④×2=⑧
2つの直方体は高さと奥行きの長さが共通しており、
横の辺であるBR:RCの比が、体積比8:3と符合する。

△PAB∽△UQBより、UQ=□3とすると、PA=□11
立体Zの体積…③×③×□3=【27】
全体の体積(四角錘P-ABCD)…⑪×⑪×□11=【1331】

立体Xは、全体から立体Y2つと立体Zをひく。
立体Y:立体Z=4:1より、立体Yの2つ分の体積…【27】×4×2=【216】
立体Xの体積…【1331】-【216】-【27】=【1088】
したがって、立体X:立体Z=1088:27


今度は表面積を求める。与えられた情報は、
『立体Zにおいて、色が塗られた2面と塗られていない3面の表面積の比が1:4』。
立体Zの底面積は1辺③の正方形。
前問の体積では高さの比を□としたが、これを○で統一して計算したい。

立体Zの体積は【27】で、底面積と高さを同じにする直方体の体積は【81】。
この高さは、【81】÷(③×③)=⑨

つづいて、立体Zを検証。
立体Zで色が塗られている部分の表面積は、③×⑨÷2×2=〔27〕
立体Zの表面積は問題文の1:4より、〔27〕×5=〔135〕
(*部位に分けると上のようになるが、まとめて処理できるので出さなくても可)

立体Zと、〇で囲った上部の四角錘が相似。
辺の比が③:⑧なので、面積比はその2乗になる。
〔135〕×(⑧×⑧)/(③×③)=〔960〕
これは、上の4つの面と、底面のを合わせた表面積の和
下の直方体の側面(4つ)は、⑧×⑨×4=〔288〕
立体Xの表面積は、〔960〕+〔288〕=〔1248〕
よって、立体X:立体Z=1248:135=416:45

これを試験時間内に終わらせるのはシビア(;^ω^)
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