問題ＰＤＦ
図１のようなコースを作り、おもちゃの電車を走らせることにしました。電車は駅から出発し時計回りに走ります。また、駅に戻ってくると５秒間停車して再び出発します。
コースは外側の１周540ｃｍ、内側の１周400ｃｍからなり、外側と内側のコースは地点Ｐのポイント１点でつながっており、ポイントが切り替わることで電車が異なるコースを走ることができます。図のように外側のコースには、地点Ｐからコースに沿って135ｃｍの位置に駅が、地点Ｐからコースに沿って270ｃｍの位置に地点Ｑがあり、内側のコースには、地点Ｐからコースに沿って200ｃｍの位置に地点Ｒがあります。
電車Ａと電車Ｂは外側のコースを走るときは秒速30ｃｍ、内側のコースを走るときは秒速20ｃｍで進み、地点Ｐのポイントを通過した瞬間に速さが変わり、それぞれのコースを一定の速さで走るものとします。電車Ｃはどちらのコースを走るときも秒速25ｃｍで進み、一定の速さで走るものとします。また、電車の長さは考えないものとします。
（１）
電車Ａと電車Ｂだけが走る場合を考え、電車Ａが駅を出発したあとに電車Ｂが駅を出発するものとします。また、ポイントは、外側のコースを走っていた電車は内側のコースに、内側のコースを走っていた電車は外側のコースに進むように切り替わるとします。次の問いに答えなさい。
①電車Ａが駅を出発して再び駅に戻ってくるまでにかかる時間は何秒ですか。
②電車Ａが駅を出発して２回目に地点Ｑに到達したときに、電車Ｂが１回目に地点Ｒに到達しました。電車Ｂは電車Ａが出発して何秒後に駅を出発しましたか。
（２）
電車Ａと電車Ｃだけが走る場合を考え、電車Ａが駅を出発したあとに電車Ｃが駅を出発するものとします。また、ポイントは、直前にポイントを通過した電車の進んだコースと異なるコースに進むように切り替わり、最初にポイントを通過する電車は内側のコースに進むとします。次の問いに答えなさい。
①電車Ａが１回目に駅を出発して連続して２回内側のコースを進むためには、電車Ｃは電車Ａが出発して何秒後までに出発すればよいか、最大の整数の値を答えなさい。
②内側のコースの長さは10ｃｍずつ変えることができるものとします。
図２のように内側のコースの長さを〔 〕ｃｍ短くしました。最初に電車Ａが駅を出発してから10秒後に電車Ｃが出発すると、電車Ａは２回続けて内側のコースを進み、次は外側のコースを進みました。また、電車が地点Ｐを合計５回通過するまでに、電車Ａ、Ｃの両方が外側のコース上にいる時間が連続して11秒以上になりました。〔 〕にあてはまる最小の整数の値を答えなさい。
＠解説＠
（１）
Ａは外側と内側のコースすべてを周る。
外側の時間＋内側の時間
＝540÷30＋400÷20
＝18＋20＝38秒
②
ＡとＢの速さは同じ。
ＡとＢの距離の差を考える。
Ｒ―Ｐ間；400÷２＝200ｃｍ
Ｐ―Ｑ間；540÷２＝270ｃｍ
駅で５秒間停車する点に注意！
270÷30＋200÷20＋５＝24秒後
（２）①
Ａが２回目のＰに触れる前に、ＣがＰに触れる。
駅からＰまでの外側の距離は、135＋270＝405ｍ
Ａが２回目のＰに着くのは、405÷30＋400÷20＝33.5秒後
Ｃが１回目のＰに着くのは、405÷25＝16.2秒後
Ａが出発してから、33.5－16.2＝17.3秒後にＣが出発すると、
ちょうどＰ地点でＡとＣが出会うことになる。
ということは、Ｃが先にＰにつくにはそれよりも前の17秒後に出発すればいい。
②
かなり大変です:( ´ω` ):
本番では捨てて問題なし。
Ａ、Ｃ両方が外側にいる時間が連続して11秒以上になるとき、
内側の長さを最小でいくら短くできるか。
駅～Ｐまでは405ｍ。
Ａは405÷30＝13.5秒後にＰに着いて内側へ移る。
ＣはＡの10秒後に駅を出発するから、ＡＣ両方が外側にいるのは3.5秒間しかない。
⇒両方が外側に連続して11秒以上いるのはＡが内側を２周した後。
ここで『電車が地点Ｐを合計５回通過した』に注目する。
最初にＰに到着するのはＡ。
Ａが２連続で内側をまわるには、Ａより先にＣがＰに着く必要がある。（Ａ→Ｃ）
内側を１周したＡがＰに着き、内側の２周目にはいる。（Ａ→Ｃ→Ａ）
内側を２周したＡは次に外をまわる。（Ａ→Ｃ→Ａ→Ａ）
では、５回目のＰはＡかＣか。
Ａはスタートから13.5秒後に１回目のＰに着く。
ＣがはじめてＰに着くのはＡが出発してから、405÷25＋10＝16.2＋10＝26.2秒後
Ａは26.2－13.5＝12.7秒より長く内側を１周していないと、Ｃより先にＰに着いてしまう。
ここで、ＡとＣが内側を走らず、駅から外側のみを１周して、
さらにＰに着くまでの時間（停車時間は含まない）を計算する。
距離は、540＋405＝945ｍ
Ａは945÷30＝31.5秒
Ｃは945÷25＝37.8秒
Ｃの方が6.3秒長くかかり、はじめの10秒遅れを含めると16.3秒差。
Ａは12.7×２＝25.4秒よりも長く内側を走っているから、
16.3＜25.4よりＡの方が遅れる→５回目にＰに着くのはＣ。
【Ｐを通過する順；Ａ⇒Ｃ⇒Ａ⇒Ａ⇒Ｃ】
内側のコースを短くする長さは最小にする＝内側のコースはできるだけ長くとる。
ＣがＰに着いたとき、ＡとＣが共に外側にいた時間がちょうど11秒となれば、
それほどＡは内側を長い時間まわっていたことになる。
Ａが内側から外側に移ったときから11秒後の位置は、
駅での停車時間を考慮すると、Ｐから30×（11－５）＝180ｍ先
駅から180－135＝45ｍ先の地点である。
Ｃが５回目のＰに着く時刻は、Ａが出発してから
（外側１周～Ｐ）＋10秒遅れ＋駅での停車
＝37.8＋10＋５＝52.8秒後
Ａが移動する合計の時間は、駅での停車時間をのぞいて47.8秒間。
このうち、Ａの外側の移動距離は、１周＋45ｍ＝540＋45＝585ｍ
Ａの外側の移動時間は、585÷30＝19.5秒間
Ａの内側の移動時間は、47.8－19.5＝28.3秒間
秒速20ｃｍをかけると内側の長さ２周分になる。
内側１周の長さは、28.3×20÷２＝283ｃｍ
内側のコースは10ｃｍ刻みで調節できる。
内側のコースを290ｃｍにしてしまうと、Ａが外側に出る時間が遅れてしまうので、
ＡとＣ両方が外側にいる時間が11秒より短くなってしまう。
⇒コースの内側の長さは280ｃｍ
内側のコースを短くする長さは、400－280＝120ｃｍ
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