2020年度 慶應義塾中等部過去問【算数】大問6解説

1辺が1cmの2種類の立方体A、Bがあります。
立方体Aは重さが5gで表面が白く塗られていて、
立方体Bは重さが7gで表面が黒く塗られています。
次の〔  〕に適当な数を入れなさい。

(1)
立方体Aと立方体Bを合わせて27個使って、
〔図1〕のような1辺が3cmの立方体を作りました。
この立方体全体の重さは最も軽い場合で〔 ア 〕g、最も重い場合で〔 イ 〕gです。

(2)
次に、立方体Aと立方体Bを合わせて64個使って、1辺が4cmの立方体を作ったところ、
その重さは378gでした。この立方体の表面全体のうち、黒く塗られている部分の面積の和は、
最も小さい場合で〔 ア 〕cm2、最も大きい場合で〔 イ 〕cm2です。


@解説@
(1)

黒は見える部分だけにあるとする。
黒は6個で、7×6=42g
白は27-6=21個で、5×21=105g
最も軽い場合は、42+105=147g(ア)

図1の状態で見えない立方体は左奥の8個
1個の白を黒に切り替えると2g増える。
147+2×8=163g(イ)

(2)
まずは各々の個数を求める。

白5g、黒7g、計64個で378g。
鶴亀算の材料がそろっているのでツルカメ。

64×7-378=70
70÷(7-5)=35
白は35個、黒は29個となる。

続いて、黒29個の配置を考える。

◆黒の面積の和が最も小さい場合
黒が表にでないようにする。
まず4×4×4の立方体の内部にある8個を黒にする。
残りの21個は、1面のみ現れる赤い斜線に配置。
本問の図には床が描かれていないので、底面の表面も塗られる。
4×6=24面あるので、21個すべての黒を置くことができる。
1×21=21cm2
(ア)

◆黒の面積の和が最も大きい場合

黒を目立たせる。
3面あらわれる角の8つに黒を優先的に配置。
残りの21個は2面あらわれる赤い〇のところ。
これは立方体の1辺に2つずつあるので、
2×12辺=24個あるから、すべての黒を置くことができる。
3×8+2×21=66cm2(イ)
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