2019年度 渋谷教育学園渋谷中学入試問題【算数】大問3解説

ある国では、6桁のマイナンバーを全国民に割り当てています。
この6桁のうち、十、百、千、一万、十万の位の数は登録した順番に決め、
一の位の数は次の法則によって算出した数とします。

①(十万の位の数)×6+(一万の位の数)×5+(千の位の数)×4+(百の位の数)×3+(十の位の数)×2を計算します。
②①で求めた数を11で割り、余りを求めます。
③11から、②で求めた余りを引くことで求められる数をマイナンバーの一の位とします。
 ただし、2桁になった場合には0とします。
例:51457□…5×6+1×5+4×4+5×3+7×2=80
 80÷11=7…3
 11-3=8
より、一の位は8となり、この国民のマイナンバーは514578に決まります。

(1)
この国のマイナンバーとしてありえないものを、次の中からすべて選びなさい。
ア:111111 イ:101010 ウ:200200

(2)
割り当てられたマイナンバーが32□469であるとき、□に当てはまる数字は何ですか。

(3)
役所で、マイナンバーが173591であると申告したところ、ある位の数が1つだけ誤っていると教えられました。その位の数は、正しいものより3小さいことが分かっているそうです。正しいマイナンバーを答えなさい。

(4)
この国においてマイナンバーを申告するときに、ある位の数が1つだけ誤っている場合、どのくらいの数が誤りであるかを必ず判断することはできますか。解答らんの「できる」、「できない」のどちらかに丸をつけなさい。また、その理由を答えなさい(解答用紙は1行)。


@解説@
(1)ルールの確認。
ア;1×6+1×5+1×4+1×3+1×2=20
  20÷11=1・・・9
  11-9=2 よって、×
イ;1×6+1×4+1×2=12
  12÷11=1・・・1
  11-1=10
  2桁の場合は0となるので○
ウ;2×6+3×2=18
  18÷11=1・・・7
  12-7=5 よって、×
アとウ

(2)
3×6+2×5+(1~9のどれか)×4+4×3+6×2
=52+(1~9のどれか)×4
=52+(4、8、12・・・36)
=56、60、64・・・88

ゴールから逆算する。
11ー□=9
□=2

(56、60、64・・・88のどれか)÷11=○・・・2
つまり、56、60、64・・・88のなかで、〔11の倍数+2〕の数を見つける。
→68
(68-52)÷4=4
よって、4。

@余談@
11で割って余りが2。
千の位以外の和である52を11で割ると余りが8。
11で割って余り8から余り2にするには、千の位で余り5にすればいい。
(余り8に3を加えて11で割り切れる。そこから+2)
4、8、12・・・36のなかで、11で割り余り5は16。
□=16÷4=4

(3)
ゴールから逆算。
一の位が1→11-□=1
□=10
〔11の倍数+10〕を考える。

〔173591〕のうち、どこか1つが正しいものより3小さい。
ということは、足して2桁になってしまう7と9のところは正しい。

とりあえず、間違った番号で試してみると86になる。
11で割ったら余りが10にならない。
間違っている位が十万の位だと+18、千の位だと+12、百の位だと+9となり、
このうち、(86+12)÷11=8・・・10となる。
よって、千の位を変える。
答えは、176591。

(4)
説明問題。
この大問はチェックディジットの仕組みを利用している。
チェックディジットとは、データの誤りを検出するための数字。
たとえば、〔1236〕というバーコードがあるとする。
計算方法が左3つの数字の和として、一番右の数がチェックディジット。
1+2+3=6、チェックディジットの6と符合すればデータの読み取りが正しい。
〔2〕の印刷がかすれていたり、バーコードの読み取りに失敗して、
コンピュータが正確にデータの入力ができなかった場合、
計算結果がチェックデジィッドと符合せず、エラーと認識する。
計算方法はコードの種類により、問題のように
各位の数字にある数(係数)をかけ、全て足したあとに何かで割り、その余りを割る数で引いた値をチェックディジットにするものもある。

以上を踏まえて本問に戻る。
番号を〔ABCDEF〕とすると、
A×6+B×5+C×4+D×3+E×2=○
○÷11=△・・・□
11-□=F
 ←チェックディジット

A~Eの5つの数字を計算し、その値がFと符合するかでエラーを検知する。
符合しなかった場合、
間違いであるとわかっても、A~Eのどこが間違っているかはわからない。よって、『ある位の数が1つだけ誤っている場合』、誤りの検知はできても、
『どの位の数が誤りであるかを必ず判断すること』はできない
(それがチェックディジット)

理由は、前問の(3)が1つだけ誤っている場合を想定しているので、
それ以外の反証を挙げればいい。

〔173591〕でチェックディジットの1が正しく、3以外で誤りがある。
ルール③から逆算して、総和の余りが10になれば良い。

総和の86を11で割ると、余りが9。
11で割って〔余り9〕を〔余り10〕にするには、
総和+1、+12、+23、+34…
もしくは、-10、-21、-32…にすればいい。
〔総和+12〕
・百万の位の1を3に変える。373591
・百の位の5を9に変える。173991
〔総和-10〕
・万の位の7を5に変える。153591
・十の位の9を4に変える。173541

もっと、単純に〔173591〕のチェックディジットである一の位の1が誤っている場合もある。
前半の5桁が正しい場合、チェックジディジットは
86÷11=7…9
11-9=2となる。→173592
これが一番やりやすいかな(‘ω’)

最後の桁が当たっていても、余りの調整は残りの桁で帳尻を合わせられるので、
結局、どこが間違っているのかはわからない。
(例えば、余りを4増やしたいとき、×4の桁を1か、×2の桁を2増やせばいい)
また、11で割った余りが2桁になった場合、一の位を0にするということは、
余り0と余り10が同じく0となるので、複数のパターンがでてしまう。
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