問題ＰＤＦ
ある国では、６桁のマイナンバーを全国民に割り当てています。
この６桁のうち、十、百、千、一万、十万の位の数は登録した順番に決め、
一の位の数は次の法則によって算出した数とします。
①（十万の位の数）×６＋（一万の位の数）×５＋（千の位の数）×４＋（百の位の数）×３＋（十の位の数）×２を計算します。
②①で求めた数を11で割り、余りを求めます。
③11から、②で求めた余りを引くことで求められる数をマイナンバーの一の位とします。
ただし、２桁になった場合には０とします。
例：51457□…5×6＋1×5＋4×4＋5×3＋7×2＝80
80÷11＝７…３
11－3＝8
より、一の位は８となり、この国民のマイナンバーは514578に決まります。
（１）
この国のマイナンバーとしてありえないものを、次の中からすべて選びなさい。
ア：111111 イ：101010 ウ：200200
（２）
割り当てられたマイナンバーが32□469であるとき、□に当てはまる数字は何ですか。
（３）
役所で、マイナンバーが173591であると申告したところ、ある位の数が１つだけ誤っていると教えられました。その位の数は、正しいものより３小さいことが分かっているそうです。正しいマイナンバーを答えなさい。
（４）
この国においてマイナンバーを申告するときに、ある位の数が１つだけ誤っている場合、どのくらいの数が誤りであるかを必ず判断することはできますか。解答らんの「できる」、「できない」のどちらかに丸をつけなさい。また、その理由を答えなさい（解答用紙は１行）。
＠解説＠
（１）ルールの確認。
ア；１×６＋１×５＋１×４＋１×３＋１×２＝20
20÷11＝１･･･９
11－９＝２ よって、×
イ；１×６＋１×４＋１×２＝12
12÷11＝１･･･１
11－１＝10
２桁の場合は０となるので○
ウ；２×６＋３×２＝18
18÷11＝１･･･７
12－７＝５ よって、×
アとウ
（２）
３×６＋２×５＋（１～９のどれか）×４＋４×３＋６×２
＝５２＋（１～９のどれか）×４
＝５２＋（４、８、12･･･36）
＝５６、６０、６４･･･８８
ゴールから逆算する。
１１ー□＝９
□＝２
（５６、６０、６４･･･８８のどれか）÷１１＝○･･･２
つまり、５６、６０、６４･･･８８のなかで、〔１１の倍数＋２〕の数を見つける。
→６８
（６８－５２）÷４＝４
よって、４。
＠余談＠
11で割って余りが２。
千の位以外の和である52を11で割ると余りが８。
11で割って余り８から余り２にするには、千の位で余り５にすればいい。
（余り８に３を加えて11で割り切れる。そこから＋２）
４、８、12･･･36のなかで、11で割り余り５は16。
□＝１６÷４＝４
（３）
ゴールから逆算。
一の位が１→11－□＝１
□＝１０
〔１１の倍数＋１０〕を考える。
〔173591〕のうち、どこか１つが正しいものより３小さい。
ということは、足して２桁になってしまう７と９のところは正しい。
とりあえず、間違った番号で試してみると８６になる。
１１で割ったら余りが１０にならない。
間違っている位が十万の位だと＋１８、千の位だと＋１２、百の位だと＋９となり、
このうち、（８６＋１２）÷１１＝８･･･１０となる。
よって、千の位を変える。
答えは、176591。
（４）
説明問題。
この大問はチェックディジットの仕組みを利用している。
チェックディジットとは、データの誤りを検出するための数字。
たとえば、〔１２３６〕というバーコードがあるとする。
計算方法が左３つの数字の和として、一番右の数がチェックディジット。
１＋２＋３＝６、チェックディジットの６と符合すればデータの読み取りが正しい。
〔２〕の印刷がかすれていたり、バーコードの読み取りに失敗して、
コンピュータが正確にデータの入力ができなかった場合、
計算結果がチェックデジィッドと符合せず、エラーと認識する。
計算方法はコードの種類により、問題のように各位の数字にある数（係数）をかけ、全て足したあとに何かで割り、その余りを割る数で引いた値をチェックディジットにするものもある。
以上を踏まえて本問に戻る。
番号を〔ＡＢＣＤＥＦ〕とすると、
Ａ×６＋Ｂ×５＋Ｃ×４＋Ｄ×３＋Ｅ×２＝○
○÷１１＝△･･･□
１１－□＝Ｆ ←チェックディジット
Ａ～Ｅの５つの数字を計算し、その値がＦと符合するかでエラーを検知する。
符合しなかった場合、間違いであるとわかっても、Ａ～Ｅのどこが間違っているかはわからない。よって、『ある位の数が１つだけ誤っている場合』、誤りの検知はできても、
『どの位の数が誤りであるかを必ず判断すること』はできない。
（それがチェックディジット）
理由は、前問の（３）が１つだけ誤っている場合を想定しているので、
それ以外の反証を挙げればいい。
〔173591〕でチェックディジットの１が正しく、３以外で誤りがある。
ルール③から逆算して、総和の余りが１０になれば良い。
総和の８６を１１で割ると、余りが９。
１１で割って〔余り９〕を〔余り１０〕にするには、
総和＋１、＋１２、＋２３、＋３４…
もしくは、－１０、－２１、－３２…にすればいい。
〔総和＋１２〕
・百万の位の１を３に変える。373591
・百の位の５を９に変える。173991
〔総和－１０〕
・万の位の７を５に変える。153591
・十の位の９を４に変える。173541
もっと、単純に〔173591〕のチェックディジットである一の位の１が誤っている場合もある。
前半の５桁が正しい場合、チェックジディジットは
８６÷１１＝７…９
１１－９＝２となる。→173592
これが一番やりやすいかな(‘ω’)
最後の桁が当たっていても、余りの調整は残りの桁で帳尻を合わせられるので、
結局、どこが間違っているのかはわからない。
（例えば、余りを４増やしたいとき、×４の桁を１か、×２の桁を２増やせばいい）
また、11で割った余りが２桁になった場合、一の位を０にするということは、
余り０と余り１０が同じく０となるので、複数のパターンがでてしまう。
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