問題ＰＤＦ
星子さんは
９×９、99×99、999×999、9999×9999、99999×99999
を計算してみたところ、計算結果に規則性があることに気が付きました。
以下の問いに答えなさい。
（１）
999×999を計算しなさい。
（２）
各位の数がすべて９である100桁の数をａとするとき、
ａ×ａを計算した結果の数について、各位の数の和を求めなさい。
（３）
各位の数がすべて３である100桁の数をｂとします。
このとき、次の計算をした結果の数について、各位の数の和を求めなさい。
（ア）ｂ×ｂ （イ）ｂ×ｂ×２
＠解説＠
（１）
999×999＝998001
＠＠
中３レベルの数学では、999＝1000－１になおして、
999×999＝（1000－１）2
＝10002－２×1000×１＋１×１＝998001
（２）
100桁×100桁の計算結果をきかれてビビるが、
問題文に『計算結果に規則性がある』とあるので規則をさぐる。
試しに４桁を計算して、３桁と比較すると…
999×999＝998001
9999×9999＝99980001
求めるのは、”計算結果の各位の和”
３桁では27、４桁では36と９の倍数×桁数と同じになる！
よって、100桁×100桁では９×100＝900
筆算で示すと、
100桁の９×９をすると、積は101桁になる。
左が８、右が１、あいだに９が99個連なり、これが100段続く。
上図はうまく描けなかったが…赤い四角形は平行四辺形になる。
計算結果は９と０が99個ずつ、８と１が１個ずつで、
９×99＋８＋１＝９×（99＋１）＝900
（３）ア
333×333＝110889→和は27（９×３）
3333×3333＝11108889→和は36（９×４）
よって、100桁の３×100桁の３→和は９×100＝900
これも正確に描けば、平行四辺形になる。
（１＋８）×99＋９＝９×（99＋１）＝900
イ
先ほどの計算結果を２倍する。
333×333＝110889
110889×２＝221778→和は27
3333×3333＝11108889
11108889×２＝22217778→和は36
先ほどと変わらない。
よって、900。
２が99個、７が99個、１と８が１個ずつ。
（２＋７）×99＋１＋８
＝９×（99＋１）＝900
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