2023年度 神奈川大学附属中学過去問【算数】大問6解説

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37名のクラスで算数のテストをしたところ、結果は下のようになりました。

70点以上が合格で、70点未満は不合格です。また得点はすべて整数です。

(1)
この結果から考えて、次の中から必ず正しいといえるものをすべて選びなさい。
ア:得点が一番高い人と一番低い人との差は50点以上である。
イ:得点を高い順番に並べたとき、クラスでちょうど真ん中の順番の人の得点は70点台である。
ウ:合格者の平均点は77点以上である。
エ:不合格者の平均点は65点以下である。
オ:クラスの平均点は70点より高い。

(2)
結果についてより詳しく調べてみると、さらに以下のことが分かりました。
・クラスの平均点はちょうど75点であり、不合格者の平均点はちょうど63点である。
・クラスの平均点と同じ得点の人が2人いて、クラス最高の得点の人が2人いて、
 それ以外の合格者の得点はすべて異なる。

①合格者の平均点は何点ですか。
②クラスの最高点は、最も高い場合で何点ですか。


@解説@
(1)
必ずしも正しいとはいえないというには、成立しない例(反例)を1つ挙げればいい。

ア:最大値を90点、最小値を49点とすると、差は90-49=41点×
イ:37人の中央値は(37+1)÷2=19番目で70~80の階級にある。〇
ウ:合格者の平均が最も低くなるパターンを想定する。
 70~79は全員70点、80~89は全員80点、90~99は全員90点とする。
【70×11、80×8、90×5】
 70点と90点のそれぞれ5人ずつを真ん中の80点に集める
【70×6、80×18】
 賛否はあると思いますが、ここで負の数を使います。
 基準を77点とすると、70点は-7点、80点が+3点
 -7×6=-42点
 +3×18=+54点
 プラスの方が大きいので、平均点は基準の77点を超える。〇
エ:不合格者の平均が最も高くなるパターンを想定する。
 40~49→49点、50~59点→59点、60~69→69点
【49×1、59×3、69×9】
 49点と69点から1人ずつを59点に集めて、
【59×5、69×8】
 基準は65点。-6×5=-30点、+4×8=+32点
 プラスが大きく、平均点は65点を超える。×
オ:平均点が最も低くなるパターンを想定する。
【40×1、50×3、60×9、70×11、80×8、90×5】
 基準は70点。
 -30×1+(-20)×3+(-10)×9=-180点
 0×11+(+10)×8+(+20)×5=+180点
 平均点はちょうど70点。×
イ・ウ

(2)①

クラス全体の平均点75点より下の領域()と上の領域()の面積が等しい。
?=12×13÷24=6.5点
合格者の平均点は、75+6.5=81.5点


合格者の合計点は、81.5×24=1956点
70~79点の11名は、クラス平均の75点が2人いて、それ以外はすべて異なる。
70~79点に1人ずつ+75点にもう1人
70点台の合計点は、(70+79)×10÷2+75=820点
残りは、1956-820=1136点

最高点が最も高い場合を想定するので、80点台の合計点は低く見積もる
80点台の8人は80~87点が1人ずつとする。
(80+87)×8÷2=668点
残りは、1136-668=468点

最高点の2人以外の3人は90~92点とする。
90+91+92=273点
最高点2人の合計点は、468-273=195点
195÷2=97.5点
ということは、最高点は最も
高くて97点。
(*たとえば、92点の生徒を93点にすればいい)
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