問題ＰＤＦ
37名のクラスで算数のテストをしたところ、結果は下のようになりました。
70点以上が合格で、70点未満は不合格です。また得点はすべて整数です。
（１）
この結果から考えて、次の中から必ず正しいといえるものをすべて選びなさい。
ア：得点が一番高い人と一番低い人との差は50点以上である。
イ：得点を高い順番に並べたとき、クラスでちょうど真ん中の順番の人の得点は70点台である。
ウ：合格者の平均点は77点以上である。
エ：不合格者の平均点は65点以下である。
オ：クラスの平均点は70点より高い。
（２）
結果についてより詳しく調べてみると、さらに以下のことが分かりました。
・クラスの平均点はちょうど75点であり、不合格者の平均点はちょうど63点である。
・クラスの平均点と同じ得点の人が２人いて、クラス最高の得点の人が２人いて、
それ以外の合格者の得点はすべて異なる。
①合格者の平均点は何点ですか。
②クラスの最高点は、最も高い場合で何点ですか。
＠解説＠
（１）
必ずしも正しいとはいえない→成立しない例（反例）を１つ挙げればいい。
ア：最大値を90点、最小値を49点とすると、差は90－49＝41点×
イ：37人の中央値は（37＋１）÷２＝19番目で70～80の階級にある。〇
ウ：合格者の平均が最も低くなるパターンを想定する。
70～79は全員70点、80～89は全員80点、90～99は全員90点とする。
【70×11、80×８、90×５】
70点と90点のそれぞれ５人ずつを真ん中の80点に集める。
【70×６、80×18】
賛否はあると思いますが、ここで負の数を使います。
基準を77点とすると、70点は－７点、80点が＋３点。
－７×６＝－42点
＋３×18＝＋54点
プラスの方が大きいので、平均点は基準の77点を超える。〇
エ：不合格者の平均が最も高くなるパターンを想定する。
40～49→49点、50～59点→59点、60～69→69点
【49×１、59×３、69×９】
49点と69点から１人ずつを59点に集めて…
【59×５、69×８】
基準は65点。－６×５＝－30点、＋４×８＝＋32点
プラスが大きく、平均点は65点を超える。×
オ：平均点が最も低くなるパターンを想定する。
【40×１、50×３、60×９、70×11、80×８、90×５】
基準は70点。
－30×１＋（－20）×３＋（－10）×９＝－180点
０×11＋（＋10）×８＋（＋20）×５＝＋180点
平均点はちょうど70点。×
イ・ウ
（２）①
クラス全体の平均点75点より下の領域（青）と上の領域（赤）の面積が等しい。
？＝12×13÷24＝6.5点
合格者の平均点は、75＋6.5＝81.5点
②
合格者の合計点は、81.5×24＝1956点
70～79点の11名は、クラス平均の75点が２人いて、それ以外はすべて異なる。
⇒70～79点に１人ずつ＋75点にもう１人。
70点台の合計点は、（70＋79）×10÷２＋75＝820点
残りは、1956－820＝1136点
最高点が最も高い場合を想定するので、80点台の合計点は低く見積もる。
80点台の８人は80～87点が１人ずつとする。
（80＋87）×８÷２＝668点
残りは、1136－668＝468点
最高点の２人以外の３人は90～92点とする。
90＋91＋92＝273点
最高点２人の合計点は、468－273＝195点
195÷２＝97.5点
ということは、最高点は最も高くて97点。
（*たとえば、92点の生徒を93点にすればいい）
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