2020年度 開智中学・先端A入試問題【算数】大問3解説

図1のように、1辺の長さが1cmの正方形のタイルに半径が1cmの円の一部が描かれているものがたくさんあります。また、1辺の長さが1cmの正方形9つに区切られた図2のようなパネルがあり、このタイルをはめることができます。

タイルのうちいくつかをパネルにはめこみ、輪を作ります。ただし、輪とは、ある点から始めて、同じ点を通ることなく、すべての点を通って元の点に戻ることのできる形のこととします。例えば、図3と図4の2つの形は輪ですが、図5と図6の2つの形は輪ではありません。

(1

輪に囲まれた部分の面積がもっとも大きくなるのは、輪がどのような形のときですか。
解答用紙のパネルに輪を書きこみなさい。
(考えられるものがいくつかあるときはそのうちの1つでかまいません)

(2)
輪に囲まれた部分の面積として考えられるものは何通りありますか。

(3)
輪に囲まれた部分の面積が図4のときと同じになるような輪の形は、
図4の場合を含めて全部で何通りありますか。
ただし、回転や裏返しでちょうど重なるものは同じとします。例えば、


の2種類は回転や裏返しで図4の輪と重なるので、すべて同じものとします。


@解説@
*入試では(2)と(3)は考え方も記述する。
(1)

↑面積を最大にするので、外側への膨らみを意識する。

(2)
まず、2×2の正方形だけで考える。

基本形を円とすると、4つの弧のうち、いくつを欠けさせるか。
5通り

今度は、3×3の正方形で考える。

左上の正方形から始めて、大きな正方形の隣にある頂点に移動しようとすると輪にならない。

結局、前問の解答が基本形になる|д・)
6つの弧のうち、いくつの弧を欠けさせるか→7通り
この7通りは真ん中に1cm2の正方形があり、先ほどの5通りと面積がかぶらない。
よって、12通り。

(3)

これも(1)を基本形とする。図4は①と⑥の弧が欠けた状態。
上下・左右対称移動して重複しない組み合わせを調べる。
6通り。

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