2018年度 明治大学付属明治中学過去問【算数】大問4解説

下の図のような、長方形PQRSがあり、
2つの正六角形ABCDEFGH、GHIJKLはともに面積が6cm2です。

点A、F、G、Lは辺PS上の点で、点C,D、I、Jは辺QR上の点で、
点Bは辺PQ上の点です。
正六角形GHIJKLは、点Hと点Eが重なるとき、点Kは辺SR上にあります。

(1)
長方形PQRSの面積は何cm2ですか。

(2)
2つの正六角形の重なる部分の面積が3cm2のとき、
PF:PGを最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)
2つの正六角形の重なる部分の面積が1/2cm2のとき、
図形LKJRSの面積は何cm2ですか。


@解説@
(1)

2つの正六角形が横に整列する。
正六角形は6つの正三角形に分割できる。

真ん中の上下2つの三角形は内角が60°で、1cm2の正三角形。
四隅は30°-60°-90°の直角三角形で、上下2つ合わせて正三角形となる。
16cm2

(2)
重なる部分(3cm2)を作図。

正六角形を6分割して重なり部分を捉える。
Fを通るGHに平行な線を描き、HEとの交点をMとする。
△FMEは1cm2の正三角形で、上下で2cm2
残り1cm2は”くの字”の形となる。
くの字を分割した平行四辺形GHMFの面積は0.5cm2

△FHMは0.25cm2
HM:ME=△FHM:△FME=0.25:1=①:④
正三角形の1辺は④。平行四辺形の対辺でGF=HM=①
AG=④-①=③
PA=④÷2=②
PF:PG=6:5

(3)

重なる0.5cm2は菱形になる。半分にして0.25cm2の正三角形。
ここでも正六角形を6分割した1cm2の正三角形で考える。
小さな正三角形と大きな正三角形の面積比は0.25:1=1:4だから、
辺の比は1:2
2つの正六角形は辺の中点で交わる。

(1)より、長方形PQRSは16cm2
2つの正六角形の合計は重複部分を引いて、6+6-0.5=11.5cm2
上下の隙間にある正三角形は0.25+0.25=0.5cm2
左の直角三角形は合わせて1cm2
図形LKJRSの面積は、16-(11.5+0.5+1)=3cm2
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