2018年度 慶應義塾中等部入試問題【算数】大問7解説

同じ大きさの正三角形のタイルが140枚あります。
このタイルをすき間なく並べて、正三角形または正六角形をつくります。
〔図1〕、〔図2〕はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。
次の(   )に適当な数を入れなさい。

(1)
できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で(   )枚使います。

(2)
できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、
正三角形をつくるのに作るタイルは( ア )枚、
正六角形をつくるのに使うタイルは( イ )枚です。


@解説@
(1)
図1の正三角形を下に伸ばしていくと…
1段…1枚
2段…4枚
3段…9枚
4段…16枚 …
タイルの枚数は平方数
140までの最大の平方数は11×11=121。
よって、121枚。

(2)

正六角形を6分割すると、〔図1〕と同じ正三角形となる。
ということは、〔図2〕の正六角形のタイルの枚数は平方数×6枚

〔図2〕の正六角形をつくるのに必要なタイルの枚数は…
①:1×1×6=6枚
②:2×2×6=24枚
③:3×3×6=54枚
④:4×4×6=96枚
⑤:5×5×6=150枚…オーバー!

140枚との差を求め、残りのタイルの枚数を求める。
①:140-6=134枚
②:140-24=116枚
③:140-54=86枚
④:140-96=46枚

〔図1〕の正三角形のタイルの枚数は平方数。
先ほどの4つの数から最大の平方数との差を求め、残りの枚数を算出。
①:134-11×11=13枚
②:116-10×10=16枚
③:86-9×9=5枚
④:46-6×6=10枚
残りの枚数が最も少ないのは③。
ア(正三角形の枚数)…81枚
イ(正六角形の枚数)…54枚

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