問題PDF
図1のような1辺が6cmの立方体ABCD―EFGHがあり、P、Q、R、S、M、Nは辺の真ん中の点です。いくつかの点を結んでできる、図2のような三角柱ア(PEFーRHG)、イ(MBA―NCD)、ウ(QFG―SEH)を考えます。次の問いに答えなさい。ただし、角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。
(1)
アとイの共通部分(どちらの三角柱にもふくまれている部分)の体積を求めなさい。
(2)
アとウの共通部分(どちらの三角柱にもふくまれている部分)の体積を求めなさい。
(3)
イとウの共通部分(どちらの三角柱にもふくまれている部分)の体積を求めなさい。
@解説@
(1)
底面が菱形(対角線が3cmと6cm)で高さ6cmの四角柱。
3×6÷2×6=54cm3
(2)
PR、SQの中点をOとする。
QGを正面(面BFGC)から見て、奥にある面PFGRに押し込むとOGになる。
QFを面PFGRに押し込むとOFになる。
同様に、SHを面PEHRに押し込むとOHに、SEはOEになる。
E・F・G・Hから伸びる4つの線分がOに集まり、求積すべき立体は正四角錘OーEFGH。
6×6×6÷3=72cm3
(3)
これも押し込んで考える。
面SEFQにAMを押し込むとSMに、BMを押し込むとQMにプリントアウトされる。
同様に、面SHGQにCNはQNに、DNはSHにプリントアウトされる。
求積すべき立体は四面体MNQS。
S、Qを真下に下ろした交点をそれぞれS’、Q’とする。
面OMNに平行となるように四面体MNQSを等積変形すると、正四角錘OーMQ’NS’になる。
(2)の正四角錘OーEFGHと高さが同じで底面積が半分だから体積は半分。
72÷2=36cm3
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