問題ＰＤＦ
図１のような１辺が６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨがあり、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｍ、Ｎは辺の真ん中の点です。いくつかの点を結んでできる、図２のような三角柱ア（ＰＥＦーＲＨＧ）、イ（ＭＢＡ―ＮＣＤ）、ウ（ＱＦＧ―ＳＥＨ）を考えます。次の問いに答えなさい。ただし、角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められるものとします。
（１）
アとイの共通部分（どちらの三角柱にもふくまれている部分）の体積を求めなさい。
（２）
アとウの共通部分（どちらの三角柱にもふくまれている部分）の体積を求めなさい。
（３）
イとウの共通部分（どちらの三角柱にもふくまれている部分）の体積を求めなさい。
＠解説＠
（１）
底面が菱形（対角線が３ｃｍと６ｃｍ）で高さ６ｃｍの四角柱。
３×６÷２×６＝54ｃｍ3
（２）
ＰＲ、ＳＱの中点をＯとする。
ＱＧを正面（面ＢＦＧＣ）から見て、奥にある面ＰＦＧＲに押し込むとＯＧになる。
ＱＦを面ＰＦＧＲに押し込むとＯＦになる。
同様に、ＳＨを面ＰＥＨＲに押し込むとＯＨに、ＳＥはＯＥになる。
Ｅ・Ｆ・Ｇ・Ｈから伸びる４つの線分がＯに集まり、求積すべき立体は正四角錘ＯーＥＦＧＨ。
６×６×６÷３＝72ｃｍ3
（３）
これも押し込んで考える。
面ＳＥＦＱにＡＭを押し込むとＳＭに、ＢＭを押し込むとＱＭにプリントアウトされる。
同様に、面ＳＨＧＱにＣＮはＱＮに、ＤＮはＳＨにプリントアウトされる。
求積すべき立体は四面体ＭＮＱＳ。
Ｓ、Ｑを真下に下ろした交点をそれぞれＳ’、Ｑ’とする。
面ＯＭＮに平行となるように四面体ＭＮＱＳを等積変形すると、正四角錘ＯーＭＱ’ＮＳ’になる。
（２）の正四角錘ＯーＥＦＧＨと高さが同じで底面積が半分だから体積は半分。
72÷２＝36ｃｍ3
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