2023年度 海城中学2回目過去問【算数】大問6解説

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同じ大きさの正方形の板が9枚あります。

これらの板には3種類の模様がかかれていて、

これらを向きを変えずに、たてと横にそれそれ3枚ずつ並べて模様を作ります。
例えば、下の図1、図2、図3のような模様が考えられます。

図2の模様は図1の模様を回転したものですが、違う模様とみなします。
図3の模様は、点対称であり線対称でもあります。

(1)
点対称であり線対称でもある模様で、図3以外のものを1つかきなさい。

(2)
点対称の模様は何通りできますか。ただし、図3と(1)でかいた模様もふくみます。

(3)
線対称の模様は何通りできますか。ただし、図3と(1)でかいた模様もふくみます。


@解説@
(1)

図3が点対称であり線対称でもある模様。
90°の回転は違う模様と考えるので、図3を90°回転させれば答えになる。

@@

これ以外の正答はないと思われる。
点対称となるには中央に+、+を挟んだ反対側に同種の模様を置く必要がある

模様の対称の軸は縦・横ではなく、斜めしかない。9マスでも同様に軸は斜めになる。
点対称かつ線対称を満たすには4つの青マス)に同種の模様がくる。
(残りの赤マスに同種の模様)
青マス赤マスにどちらの模様を置くかで2通りしかない。

(2)

点対称なので中央が+、+を挟んだ両端に同種の模様がくる。
〇▲□×の4つから2つを選んで同種の模様を置く
(残り2つは別の同じ模様が自動で置かれる)
=6通り

(3)
対称の軸は斜めしかない。

+が中央にある場合。
軸に対して対応するマスに同種の模様を置く。
軸は右上と右下の2パターンで、おのおの=6通りずつある。

留意点はが同種のときに重複が発生すること
(1)でが同種のときは点対称かつ線対称になった。
の4マスが同種だと、残りの四隅は別の同種で互いに重複が発生。
これが2通りあるから、6+6-2=10通り

+が四隅にあるときも線対称ができる
=6通り
+が別の隅にある場合を含めると、6×4=24通り
(回転させると、軸上の+××が回る→重複なし)
したがって、10+24=34通り
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