2023年度　海城中学２回目過去問【算数】大問６解説

問題ＰＤＦ
同じ大きさの正方形の板が９枚あります。
これらの板には３種類の模様がかかれていて、

これらを向きを変えずに、たてと横にそれそれ３枚ずつ並べて模様を作ります。
例えば、下の図１、図２、図３のような模様が考えられます。

図２の模様は図１の模様を回転したものですが、違う模様とみなします。
図３の模様は、点対称であり線対称でもあります。

（１）
点対称であり線対称でもある模様で、図３以外のものを１つかきなさい。

（２）
点対称の模様は何通りできますか。ただし、図３と（１）でかいた模様もふくみます。

（３）
線対称の模様は何通りできますか。ただし、図３と（１）でかいた模様もふくみます。

（１）

図３が点対称であり線対称でもある模様。
90°の回転は違う模様と考えるので、図３を90°回転させれば答えになる。

＠＠

これ以外の正答はないと思われる。
点対称となるには中央に＋、＋を挟んだ反対側に同種の模様を置く必要がある。

模様の対称の軸は縦・横ではなく、斜めしかない。９マスでも同様に軸は斜めになる。
点対称かつ線対称を満たすには４つの青マス（★）に同種の模様がくる。
（残りの赤マスに同種の模様）
青マスと赤マスにどちらの模様を置くかで２通りしかない。

（２）

点対称なので中央が＋、＋を挟んだ両端に同種の模様がくる。
〇▲□×の４つから２つを選んで同種の模様を置く。
（残り２つは別の同じ模様が自動で置かれる）
_４Ｃ_２＝６通り

（３）
対称の軸は斜めしかない。

＋が中央にある場合。
軸に対して対応するマスに同種の模様を置く。
軸は右上と右下の２パターンで、おのおの_４Ｃ_２＝６通りずつある。

留意点は〇と□が同種のときに重複が発生すること！
（１）で★が同種のときは点対称かつ線対称になった。
〇と□の４マスが同種だと、残りの四隅は別の同種で互いに重複が発生。
これが２通りあるから、６＋６－２＝10通り

＋が四隅にあるときも線対称ができる。
_４Ｃ_２＝６通り
＋が別の隅にある場合を含めると、６×４＝24通り
（回転させると、軸上の＋××が回る→重複なし）
したがって、10＋24＝34通り
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