平均50.5点（前年比；－3.4点）
最高点97点、最低点０点
問題はコチラ→ＰＤＦファイル
出題範囲の削減は〔啓林館 未来へひろがる数学３〕194ページ以降。
大問１（小問集合）—77.3％
（１） 98.4％
－３－６
＝－９
（２） 93.8％
－７/10×（－５/21）
＝１/６
（３） 91.6％
１－（－３）2
＝１－９
＝－８
（４） 94.6％
－４（ａ－ｂ）＋５（ａ－２ｂ）
＝－４ａ＋４ｂ＋５ａ－10ｂ
＝ａ－６ｂ
（５） 80.7％
（√８＋√18）÷√２ ←根号同士で割れる！
＝√４＋√９
＝２＋３＝５
（６） 85.9％
ｘ2－10ｘ＝－21
ｘ2－10ｘ＋21
＝（ｘ－３）（ｘ－７）＝０
ｘ＝３、７
（７） 59.8％
ａ＞０で、グラフは下に凸。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝－２のとき、最大値ｙ＝４
０≦ｙ≦４
（８） 53.3％
ア：15人の中央値は８番目の値だが、表では不明。×
イ：２年生の合計24×15は、３年生の合計25×15より小さい。〇
ウ：範囲（レンジ）＝最大値－最小値。いずれも範囲は15。〇
エ：最も多く現れる値は頻出値（モード）だが、表では不明。×
イ、ウ
（９） 31.9％！
△ＡＢＰの面積を最小にする→Ｐと直線ℓの距離（△ＡＢＰの高さ）を短くする。
Ｏを通る直線ℓの垂線をひき、円周との交点がＰである。
大問２（確率&方程式）—51.9％
（１）① 44.8％
あくまでも確率なので絶対ではない。
同様に確からしいとは、結果が同じのように起こると期待できること。
ア『かならず』イ『少なくとも１回』『ちょうど』とは断言できない。
エ
② 75.1％
答案では説明も書く。
玉の取り出し方は、３×４＝12通り
和が５になる組み合わせは、（１、４）（２、３）（３、２）の３通り。
確率は、３/12＝１/４
（２）① 77.0％
６人なので団体割引はなし。
Ａ～Ｄ間は660円、Ａ～Ｆ間は1200円。
660×３＋1200×３
＝（660＋1200）
＝1860×３＝5580円
② 17.4％！
答案では過程も記述する。
１人あたりの通常運賃さえわかれば、表から何駅から何駅まで移動したかがわかる。
そこで、１人あたりの通常運賃をｘ円とする。
団体割引が適用されるから、大人１人は0.7ｘ円、中学生１人は0.5ｘ円。
0.7ｘ×５＋0.5ｘ×15＝6600
11ｘ＝6600
ｘ＝600
『列車はＡ駅からＦ駅に向かって進む』。
表より、通常運賃が600円となるのは、Ｂ駅で乗ってＥ駅に降りた。
乗った駅…Ｂ駅、降りた駅…Ｅ駅
大問３（関数）—40.5％
（１） 28.1％！
反比例の例を挙げる。
〔面積が18ｃｍ2の長方形の縦をｘｃｍ、横をｙｃｍ〕とすると、
ｙはｘに反比例する。
ｙ＝18/ｘ
〔18ｋｍの道のりを歩く速さを時速ｘｋｍ、時間をｙ時間〕とすると、
ｙ＝18/ｘ
〔18ｍのリボンをｘ等分したとき、１本あたりの長さをｙｍ〕とすると、
ｙ＝18/ｘ
（２）① 75.3％
反比例の比例定数ａはｘとｙの積。
Aの座標から、ａ＝－２×６＝－12
② 47.8％
Ａ（－２、６）⇒Ｃ（４、９）
右に６、上に３だから傾きは１/２。
Ａから右に２、上に１の移動で格子点を通過する。
４個。
③ 10.8％！
ｙ＝－12/ｘにｘ＝４を代入して、Ｂ（４、－３）
Ｄを通る△ＡＢＣを２等分する直線は、ＤからＡＣ方面に向かうはず。
試しにＡＤに補助線をひくと、ＢＤ：ＤＣ＝３：９＝１：３だから、
△ＡＢＤの面積を①とすると、△ＡＤＣは③。
△ＡＢＣの面積は④だから、②ずつに配分すれば２等分になる。
△ＡＤＣを①と②に分割。
ＡＣを１：２に内分する点をＥとすれば、△ＡＤＥ＝①、△ＥＤＣ＝②となり、
直線ＥＤで△ＡＢＣの面積が２等分される。
Ｅの座標は実は前問で既に判明している。４つ格子点の左から２番目である。
Ｅ（０、７）→Ｄ（４、０）
右に４、下に７だから、傾きは－７/４。
切片はＥのｙ座標７。
ｙ＝－７/４ｘ＋７
大問４（平面図形）—31.9％
（１） 81.3％
∠ＤＡＢ＝∠ＡＣＢから90°を移動させると、△ＡＢＣの内角で決着がつく。
∠ＤＡＧ＝∠ＤＡＢ（90）＋∠ＢＡＣ（●）＝∠ＡＣＢ（90）＋∠ＢＡＣ（●）＝180－35＝145°
（２） 35.7％
△ＡＢＦ≡△ＥＢＣの証明。
正方形の１辺で、ＡＢ＝ＥＢ
同様に正方形の１辺で、ＢＦ＝ＢＣ
∠ＡＢＦ＝90＋●＝∠ＥＢＣ
２組の辺とあいだの角が等しいから合同。
＠余談＠
△ＡＢＦをＢを回転の中心として反時計回りに回転移動すれば△ＥＢＣ。
（３）① 5.7％!!
△ＡＢＣの面積は、３×２÷２＝３ｃｍ2
△ＡＢＣで三平方→ＡＢ＝√13ｃｍより、正方形ＡＢＥＤは13ｃｍ2。
五角形ＡＣＢＥＤが13＋３＝16ｃｍ2で、これから△ＥＢＣをひけば四角形ＥＣＡＤが求まる。
△ＥＢＣの底辺が３ｃｍ。高さをどうするか。。
高さを作っちゃう。
ＣＢの延長線とＥからおろした垂線の交点をＩとする。
●＋×＝90°で角度を調査すると２角が等しく、
正方形の１辺でＡＢ＝ＢＥだから、１辺両端角相等で△ＡＢＣ≡△ＢＥＩ。
△ＥＢＣの高さはＥＩ＝３ｃｍ。
求積すべき四角形ＥＣＡＤの面積は、16－３×３÷２＝23/２ｃｍ2
＠余談＠
↑この形は三平方の定理の証明にもでてくる。
同じ直角三角形を一周してグルっと敷き詰めると、
中央の正方形ＡＢＥＤの面積は、５×５－３×２÷２×４＝13ｃｍ2で、
１辺は√13ｃｍとなり、２2＋３2＝（√13）2が成り立つ。
② 4.2％!!
弧の長さを求めるので、円の中心を探す。
左上の方にありそう・・。
なんとなく、ＡＦとＥＣが直交しているように見える。
ＢＣとＡＦの交点をＪとする。
△ＢＪＦと△ＨＪＣにおいて●＋×＝90°で角度を調査すると、
対頂角（×）と合同による対応する角（●）で２角で等しく∽。
∠ＪＨＣ＝∠ＪＢＦ＝90°だから、予想通りＡＦとＥＣは直交していた。
中心の探索は円周角定理の逆を使う。
ＡＥについてＢとＨが同じ側にあって∠ＡＢＥ＝∠ＡＨＥ＝90°だから、
４点Ａ・Ｈ・Ｂ・Ｅは同一円周上にある。
また、直径に対する円周角は90°だから、円の直径はＡＥでこの中点が中心Ｏである。
正方形の半分である△ＡＢＥは直角二等辺。
１：１：√２より、直径ＡＥ＝√13×√２＝√26ｃｍ
Ｈを含む弧ＡＢの中心角は∠ＡＯＢ＝90°で、
√26×π×１/４＝√26/４πｃｍ
大問５（空間図形）—30.0％
（１） 80.5％
△ＡＢＣで三平方。
辺の比は３：４：５で、ＡＣ＝10ｍ
（２） 39.2％
ＡＣとＢＤの交点をＨとする。
Ｐから垂線をおろすと、その足はＨにあたる。
ＨＣ＝10÷２＝５ｍ
△ＰＣＨで三平方→５：12：13の直角三角形でＰＨ＝12ｍ
正四角錘ＰーＡＢＣＤの体積は、８×６×12÷３＝192ｍ3
（３）① 0.0％!!!
難しい⊂( ・∀・) 彡 =͟͟͞͞(✹)`Д´)
四角錘の底面ＡＢＣＤを45°傾けると台形ＡＢＥＦに変わった。
この45°が本問の重要なキーになるので、まず、45°を図示したい。
そこで、四角錘を真正面からみたときの様子を考える。
ＡＢ・ＣＤ・ＥＦの中点をそれぞれＱ・Ｒ・Ｓとすると、
△ＰＱＲは底面ＡＢＣＤに対して垂直な面にある。
長方形ＡＢＣＤを台形ＡＢＥＦに45°起き上がらせるとＲＱがＳＱになるから、
ＳＱとＲＱがなす角度、すなわち、∠ＳＱＲ＝45°である。
ＰＨとＱＳの交点をＴとする。
△ＴＨＱは内角は45°ー45°ー90°で直角二等辺三角形。
ＴＨ＝ＱＨ＝４ｍ
ＰＴ＝12－４＝８ｍ
ＰＨが中線（Ｐと対辺ＱＲの中点を結んだ線）で、ＰＴ：ＴＨ＝８：４＝２：１だから、
Ｔは△ＰＱＲの重心である⇒重心を通過するＱＳは中線で、ＳはＰＲの中点。
『重心？高校生の範囲でしょ？(`д´)ﾒｯ』という人は、ＴＲに補助線を引き、
△ＱＰＴ：△ＱＴＨ＝②：①。ＱＨ：ＨＲ＝１：１より△ＲＴＨ＝△ＱＴＨ＝①だから、
高さの比で、ＰＳ：ＳＲ＝△ＱＰＴ：△ＱＲＴ＝②：②＝１：１と出ます。
ＳがＰＲの中点であることをふまえ、再び立体に戻る。
△ＰＥＦ∽△ＰＣＤより、ＥＦ＝６÷２＝３ｍ
Ｓから垂線、足をＵとすると、ＵはＨＲの中点だからＨＵ＝２ｍ
直角二等辺ＳＵＱより辺の比は１：１：√２だからＱＳ＝６√２ｍ
これが台形ＡＢＥＦの高さにあたる。
その面積は、（３＋６）×６√２÷２＝27√２ｍ2
② 0.4％!!?
前問で台形ＡＢＥＦを求めたので、これを底面としたときの高さがわかればいい。
ＱＳを延長、Ｐからの垂線との交点をＶをすると、ＰＶが四角錐の高さにあたる。
対頂角で45°を移すと、△ＰＶＴは直角二等辺。
１：１：√２より、ＰＶ＝８×１/√２＝４√２ｍ
したがって、四角錐ＰＡＢＥＦの体積は、27√２×４√２÷３＝72ｍ3
＠余談＠
台形ＡＢＥＦの面積を経由せず、△ＰＱＳの面積から体積を求めることもできる。
△ＰＱＳの面積は△ＰＱＲの半分だから、８×12÷２÷２＝24ｍ2
四角錘ＰーＡＢＥＦは△ＰＱＳを挟んで、三角錐Ｅ―ＰＢＳと三角錐Ｆ―ＰＢＳに２等分される。
底面積を△ＰＱＳとして、高さの合計から１つの三角錐とみなす。
あとは断頭三角柱の考えで、ＢＡ＝６ｍ、ＥＦ＝３ｍ、Ｐは０ｍだから、
高さの平均が（６＋３＋０）÷３＝３ｍ
24×３＝72ｍ3
難しいですけど、このようなタイプの問題で断頭三角柱を使うものがあります。
＠＠
甲陽学院で類題が出題されました。
難問ですが、余力のある方は挑戦してみてください。
大問１
正答率は高い。
後半戦を考えるとここで失点しない。
（９）底辺ＡＢの長さが固定なので、高さを最小にする。
大問２
（１）①もう少し正答率があっても良いと思うのだが。
（２）②何を文字におくか。表では300と480以外は数値がバラけている。
通常運賃をｘとおけば、団体割引が適用された運賃もｘで表せる。
大問３
（１）反比例の具体例をあげる。よく経験してきたと思うが正答率は悪い。
（２）③いろんなやり方がある。本解説では①：③が見えたので、それを②：②にした。
大問４
（２）頻出の証明です。
（３）①合同の直角三角形をくっつける発想はどこかで経験しておきたい。
②中心点は円周角定理の逆をよぎらせる。90°があれば直径が見つかる。
なんとなく垂直っぽいという着眼は大事。あとは検証。
大問５
（３）①難問。45°をどの平面で記述するか。
台形ＡＢＥＦと長方形ＡＢＣＤを２等分する軸に目をつける。
また、四角錐全体を正面からみた図だと面の移動がつかみやすい。
ＳがＰＲのちょうど真ん中にくる。
②なんで0.0％から0.4％に上がったのかな？(‘Д’)
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ｎｏｔｅも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
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