2020年度 渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問3解説

2つの四角柱の水そうA、Bがあります。
水そうAの深さは30cmで、最初に深さ6cmまで水が入っています。
水そうBは深さが40cmで水は入っていません。
まずBに水を入れ始め、その5分後にAにもBに入れる水と毎分同じ量の水を入れ始めます。
下のグラフはBに水を入れ始めてからの時間と、A、Bにたまる水の深さのうち
深いほうの深さのようすを途中まで表したものです。
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
水そうAの底面積は水そうBの底面積の何倍ですか。

(2)
このまま水そうA、Bに入れ続けると、片方の水そうが水でいっぱいになったとき、
もう一方の水そうは水でいっぱいにはなりません。
そこで途中から一方の水そうに入れる水の量をそれまでと比べて毎分2倍にします。
すると、2つの水そうが同時に水でいっぱいになりました。
毎分2倍の量で水を入れたのはどちらの水そうで、何分間ですか。


@解説@
(1)
グラフのはじめは水深6cmのAだが、その後は2通りのシナリオが考えられる。
5分後、Aに水が入り、7.5分後にBがAを追い越したか。
5分前にBがAを追い越し、7.5分後にAがBを追い越したか。

注目すべきは、『Bに入れる水の量は0分から一定である』こと!
つまり、Bのグラフを描いたら原点0を通るはず。
ここから、グラフはA→A→Bとなる。

A:2.5分間で水深1.5cm増→1分あたり、1.5÷2.5=3/5cm増
B:7.5分間で水深7.5cm増→1分あたり、7.5÷7.5=1cm増
AとBの底面積は逆比(水深の増加速度が速いBの方が底面積が小さい)。
A:B=1:3/5:1=5:3
よって、Aの底面積はBの5/3倍。

(2)
Bがいち早く満水になる。
Bの深さは40cmなので、40分後にBが満水。
→Aも40分後に満水となるよう仕向ける。

Aは最初の5分間は水を入れず、水深6cmからスタートなので、
『35分間で水深が24cm増加』すればいい。
あとは御馴染みの鶴亀算。

横が時間、縦が水深の増加速度、面積が水深の長さ。
左上の長方形が、35×6/5-24=18
18÷(6/5-3/5)=30分
2倍速でいれた時間は、35-30=5分間
答えは、『水そうAに5分間』。

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