2019年度 ラ・サール中学入試問題【算数】大問6解説

AD:BC=5:8でADとBCが平行な台形ABCDにおいて、
辺CD上に点Pをとり、BPとACの交点をQとします。
このとき、四角形AQPDの面積と三角形BCQの面積が等しくなりました。
次の問に答えなさい。

(1)
CPとPDの長さの比を最もかんたんな整数の比で答えなさい。

(2)
AQとQCの長さの比を最もかんたんな整数の比で答えなさい。

(3)
三角形ABQと三角形CPQの面積の比を最もかんたんな整数の比で答えなさい。


@解説@
(1)
当たり前だが、ここをクリアできないと全部落とす。
斜線の部分が等しい⇒△ACDと△BCPの面積が等しい
(それぞれに△PQCを足しても和は同じだから)

△ACD=AD×DC、△BCP=BC×CP
AD×DC=BC×CP
AD:BC=5:8だから、
DC:CP=8:5になれば、△ACDと△BCPの面積が等しくなる。
よって、CP:PD=5:3

(2)
前問題さえ乗り切れば、よくある手口。

交点をEとして、△PBC∽△PEDから、
DE=8×3/5=24/5
△AQE△CQBから、
AQ:QC=5+24/5:8=49:40

(3)
今までのおさらい。

BQ:QE=40:49、BP:PE=5:3
BEを89として、これを5:3に分ける。
BP=89×5/8=445/8
QP=445/8-40=125/8
BQ:QP=40:125/8=64:25
△ABQ=AQ×BQ、△CPQ=QP×QCより、
△ABQ:△CPQ=49×64:40×25=392:125
最後の問題で数字がやらしい(´Д`)
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note書いています(*'ω'*)
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