問題ＰＤＦ
黒い正方形のまわりに１辺の長さが１ｃｍの正方形を並べます。下の図は、左から１辺の長さが１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍ…の黒い正方形のまわりに白い正方形を並べたものです。
白い正方形のマスの中に、１は１個、２は２個、３は３個…のように整数ＡはＡ個使い、ある整数から連続した２種類以上の整数を並べます。たとえば、図１の左のように、黒い正方形の１辺の長さが２ｃｍのとき、３を３個、４を４個、５を５個使うと、ちょうど並べきることができます。しかし、図１の右側のように、４を４個、５を５個、６を６個ではちょうど並べきることができません。また、図２のように、黒い正方形の１辺の長さが８ｃｍのときは、１から８までと、11から13までの整数をちょうど並べきることができます。
このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、（２）、（３）では考えられるものを「〇～〇」のように書きなさい。たとえば、図１の左側の場合は「３～５」、図２の場合は「１～８と11～13」と表すことにします。
（１）
黒い正方形の１辺の長さにかかわらず、連続した２種類の整数だけでは白い正方形のマスの中に整数をちょうど並べきることができません。その理由を説明しなさい。
（２）
黒い正方形の１辺の長さが９ｃｍのとき、白い正方形のマスの中に整数をちょうど並べきるには、いくつからいくつまでの整数を並べればよいですか。考えられるものをすべて答えなさい。
（３）
黒い正方形の１辺の長さが14ｃｍのとき、白い正方形のマスの中に整数をちょうど並べきるには、いくつからいくつまでの整数を並べればよいですか。考えられるものをすべて答えなさい。
（４）
黒い正方形の１辺の長さが100ｃｍまでの中で、白い正方形のマスの中に整数をちょうど並べきることができないのは、黒い正方形の１辺の長さが何ｃｍのときですか。考えられるものをすべて答えなさい。
＠解説＠
（１）
海陽学園にありそうな説明問題。
黒い辺の長さから白い正方形の数を求める。
●…（黒い正方形の１辺の長さ）×４、●…４つ角
白い正方形の数（●＋●）は４の倍数＋４、すなわち、４の倍数（偶数）になる。
一方、連続した２種類の整数の和が奇数。
偶数のマスの中に奇数個の整数は並べきれない。
（２）
黒い正方形の１辺の長さが９ｃｍの場合、白い正方形の数は９×４＋４＝40個。
次におさえておきたいのが、連続する整数の和の関係。
奇数個の場合、真ん中の数を①をおくと、両サイドのペアの和は②になる。
（７・８・９であれば、真ん中の８を２倍した16が両サイドの和）
偶数個の場合、ペアで同じ和が作られる。
（２・３・４・５であれば、３＋４＝２＋５といった具合）
連続する整数が２個の場合は、前問の通り無い。
３個の場合は和が③になり、40で割れない。
４個の場合は20＋20になるが、連続する２つの整数は奇数なので真ん中のペアが不成立。
５個の場合、⑤＝40となり、真ん中の数が８。
８を真ん中にして、（６～10）が見つかるщ(・д・´щ)
６個の場合、ペアが３つできるが40÷３は整数値にならない。
７個は⑦＝40で割れない。
８個はペアの和が40÷４＝10で、奇数でないと真ん中のペアが不成立。
９個は⑨＝40で×。よって、（６～10）しかない。
（３）
黒い正方形の１辺が14ｃｍのとき、白い正方形の数は、14×４＋４＝60個。
前問のように３～14まで数えてもいいが、時間がかかるので少し方法を変えてみる。
連続する整数が奇数個であっても偶数個であっても、
60を割って商が整数になれば、四角形に均すことができる。
四角形の面積→縦×横
また、連続する整数が偶数個の四角形の縦の長さは必ず奇数になる！
なぜなら、中央のペア２つは連続する２つの整数であり、
その和は奇数なので、他のペアの和（四角形の縦の長さ）も奇数になるから。
つまり、偶数×偶数は自ずと弾かれる。
以上をふまえて、〇×〇＝60の組み合わせをラインナップ。
60×１→整数は２種類以上。×
30×２→偶数×偶数ゆえ×。
縦20×横３→20が横３つ。すなわち、20を真ん中にして３つ→（19～21）
縦15×横４→ペアの和が60÷４＝15。
連続する整数が偶数個のとき、中央に近いペアは連続するので差が１。
和が15で差が１→（７・８）のペアを真ん中にして連続する８つの数字→（４～11）
縦12×横５→真ん中を12にして前後の４つを含む→（10～14）
10×６→偶数×偶数ゆえ×。
よって、（４～11）（10～14）（19～21）。
*もちろん、上記の方法で（２）も素早く解ける。
甲陽学園でも似たようなものが出題されていました。
（４）
まだ問題があった(;^ω^)
整数に関する発想力が求められる。
『偶数×偶数は弾かれる』←これを使う。
偶数×偶数の積→２の素因数だけで構成される数→２のベキ乗！(ｄﾟωﾟｄ)ｵｩｲｪ
つまり、白い正方形のマスが２のベキ乗個だと、
連続する整数をいかに組み合わせても２のベキ乗にならず、整数がマスからあぶれてしまう。
（１）より、（黒い正方形の１辺）×４＋４＝白い正方形の数なので、
白８…（８－４）÷４＝１個
白16…（16－４）÷４＝３個
白32…（32－４）÷４＝７個
白64…（64－４）÷４＝15個
白128…（128－４）÷４＝31個
白256…（256－４）÷４＝63個
白512…（512－４）÷４＝127個 ←100over！
したがって、１、３、７、15、31、63、127ｃｍ。
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