2022年度 東大寺学園中学過去問【算数】大問2解説

(1)

図のような通学路に、T君の家、D君の家、学校があります。T君とD君は8時にそれぞれの家を出て、それぞれ一定の速さで学校に向かいました。途中のJ地点を通過したのはT君の方が3分早く、学校への到着時刻の差は5分でした。D君の家からJ地点までの道のりと、J地点から学校までの道のりの比が7:3だとすると、T君がD君の家を通過したのは8時何分何秒だったでしょうか。

(2)
整数を異なる3個の整数の積として表すことを考えます。たとえば、24は、
1×2×12、1×3×8、1×4×6、2×3×4
と4通りの表し方があります。
(ⅰ)90を異なる3個の整数の積として表す方法は全部で何通りありますか。
ただし、積の順序だけが異なるものは、それらを全部で1通りとして数えます。

(ⅱ)20以上の整数Aを、異なる3個の整数の積として表すことはできず、
A+4も異なる3個の整数の積として表すことはできませんでした。
このような20以上の整数Aとして考えられるものを小さいものから順に5個答えなさい。

(3)
下の図の直方体ABCD―EFGHは、AB=AD=2cm、AE=4cmの直方体で、
I、JはそれぞれBF、CGの真ん中の点です。
このとき、四角すいA―IFGJと四角すいE―BIJCの重なっている部分の体積を求めなさい。



@解説@
(1)

J地点ではTが先に着いて3分差。
学校ではTが先に着いて5分差。
距離③で2分の差が発生している
距離に応じて差は比例で拡大する。
距離⑦では、2×⑦/③=14/3分の差が発生する。

ここで、DがJ地点を通過したときから、Dが距離⑦を移動する前まで時間を逆再生する。
すなわち、DがD家を出発した時間(TがT家を出発した時間)まで巻き戻す。
距離⑦の時間差14/3分は、地点Jの時間差3分(T先行)より大きい。
14/3-3=5/3分=1分40秒(D先行
TがD家を通過するのは8時1分40秒。

(2)(ⅰ)
1×〇×〇=90の組み合わせを考えると、
(1、2、45)(1、3、30)(1、5、18)(1、6、15)(1、9、10)。
素因数分解すると、90=2×3×3×5
2を残す→(2、3、15)(2、5、9)
3を残す→(3、5、6)
もう無い。
よって、
8通り。

(ⅱ)
『異なる3個の整数の積として表せない数』はどんな数か。
思うに、約数が4個以上の数は異なる3個の整数の積で必ず表せる
たとえば、6の約数は〔1、2、3、6〕で6以外の1×2×3で表せる。
約数の個数が3個以下の数を考える。

まずは素数
素数の約数は1と自身の2個しかないので表せない。
もう1つは素数平方数
たとえば、3×3=9の約数は〔1、3、9〕の3個で、9=1×9=3×3しかない。

20以上の素数or素数の平方数を探し、その+4もそうでないか調べあげる。
23は素数。しかし27は×。
25は素数の平方数。29も素数。〇
29は素数。しかし33は×!
31は素数。35×!
37は素数。41も素数!〇
41は素数だが45が×です。
43は素数で、47も素数!〇
47は素数だけど、51が違います。×
49が素数の平方数であることを忘れてはならない。53は素数!〇
53は素数で57は×。
59は素数で63が違う。×
61⇒65×!
67⇒71〇!
したがって、25、37、43、49、67。
5個も出させるなんてねぇ・・(´・д・`)

(3)
難関校で出題される共通部分の問題。
やっぱり難しい:(っ`ω´c):

求積すべき立体はこうなる。
手前の四角形は長方形AEFB上にあるが、背面の扱いに注意!
Aは前方の上から奥の下側へ、Eは前方の下から奥の上側へスポットライトを当てる。
奥へ向かうAGとECの交点から上下に分かれるので、
背面は1つの面ではなく、屋根みたいに2面に分かれる
立体は断頭四角柱ではなく、合同な2つの断頭三角柱を上下に合わせた感じになる。

うえのような記号をふる。
底面積は四角形MKOI。
△AEMと△BIMが相似で、AM:MI=
△AEIと△MOIの相似で、MO=4×/=4/3cm
KI=2÷2=1cm
MOとKIは菱形の対角線のように直交する。
四角形MKOIの面積は、4/3×1÷2=2/3cm2

高さは断頭三角柱の平均の高さで攻略する。
IJ=2cm
△AKLと△AFGが相似→KL=2÷2=1cm
△AMNと△AIJが相似→MN=2×/=4/3cm
高さの平均は、(2+1+4/3)÷3=13/9cm

求積すべき立体の底面積は2/3cm2、高さの平均は13/9cmで、
上下の断頭三角柱を一括して求めると、その体積は2/3×13/9=26/27cm3
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