2024年度　海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
　２つの建物Ａ、Ｄと２つの壁Ｂ、Ｃが10ｍの等間隔で一直線上に並んでいて、図１のようにそれぞれの建物の端にはエレベーターがついています。建物Ａのエレベーターは秒速１ｍで動き、建物Ｄのエレベーターは秒速２ｍで動きます。
また、図１のようにそれぞれの建物の屋上の高さは、建物Ａは24ｍ、建物Ｄは32ｍであり、また、壁Ｃの高さは12ｍです。なお、壁の厚さは考えないこととします。

今、建物Ａのエレベーターが地上から屋上に向かって、建物Ｄのエレベーターが屋上から地上に向かって同時に出発しました。エレーベーターは地上または屋上に着くと、８秒間止まってから折り返して動き出すという動きを繰り返すこととします。
エレベーターは大きさを無視して床の面の高さで考えることにします。

（１）
エレベーターが動き始めてからの２分間で２つのエレベーターが同じ高さになることは
何回ありますか。ただし２台とも地上にある場合は除いて考えます。

（２）
Ａ、Ｄのエレベーターと壁Ｃの上端の３つが初めて一直線上に並ぶのは、
エレベーターが動き始めてから何秒後ですか。

　エレベーターにはカメラが取り付けてあり、外の様子を見ることができます。
カメラの取り付け位置は床と同じ高さの所です。

（３）
ＢとＣの間の地面のうち、エレベーターが動いても壁に邪魔されてＡとＤのどちらのエレベーターのカメラからも見えない部分が２ｍあることが分かりました。このとき壁Ｂの高さを求めなさい。

真上から見ると図２のように、高さ14ｍの塔ＯＦ（塔の上端がＦ、地上の点がＯ）、建物Ａのエレベーター、高さ28ｍの塔Ｅ、建物Ｄのエレベーターは正方形の頂点上にあります。
このような配置のとき、塔ＯＦの地上の点Ｏ、Ａのエレベーター、Ｄのエレベーター、塔Ｅの上端の４点は空間内で平行四辺形の頂点になることがあります。

（４）
４点が初めて平行四辺形の頂点になるのはエレベーターが動き始めてから何秒後ですか。
また、２回目に平行四辺形の頂点になるのはエレベーターが動き始めてから何秒後ですか。

エレベーターが動き始めて21秒後にはＡのエレベーターは地上21ｍの位置にあります。このとき、Ａのエレベーター、塔Ｅの上端、塔ＯＦの上端の点Ｆの３点でできる三角形を三角形ＡＥＦとします。

（５）
三角形ＡＥＦの各辺をのばした直線がそれぞれ地面と交わる３点は、
一直線上にあることを説明しなさい。

＠解説＠
（１）
ダイヤグラムを描いて調べる。

条件がやらしい。Ａは24ｍを秒速１ｍで、Ｄは32ｍを秒速２ｍで往復する。
端についたら８秒間休む。２台とも地上にある場合を除くので、64秒後を除外すると４回。

（２）
Ａ・Ｃ・Ｄが一直線になる場合を考える。

水平方向の２：１に着目する。
壁ＣとエレベーターＤは平行。
もし、ＡＣ：ＣＤ＝２：１であれば、上の２つの直角三角形は相似で一直線になる。
（後述の通り０秒後にＡＤを２：１に分かつ点は12を超えるので、ＡＤは右下の線にはならない）

垂直方向に整理するとこのようになる。
ＡＣ：ＣＤ＝②：①となるのは何秒後か？

ＡとＤが動いた距離は①、②とする。
③＋③＝32　←÷３
①＋①＝32/３

①＋②＝12から上の式をひくと、①＝12－32/３＝４/３
①＝32/３－４/３＝28/３ｍ
Ａは秒速１ｍだから28/３秒後。

＠別解＠

時計算に出てくるシャドーを用いる。
最初にＡＤを２：１に分けるシャドーは、32×２/３＝64/３ｍ
このシャドーはＡとＤの動きに連動して常にＡＤを２：１に分ける点で、
シャドーがＣと一致したときが求めるべきＡＣ：ＣＤ＝２：１になる。

Ｃとシャドーは64/３－12＝28/３ｍ離れている。シャドーの速さが知りたい。
０秒後を②：①、１秒後を②：①とすると、
③＝③＋３→①＝①＋１
１秒後のシャドーは左に、（①＋２）－①＝（①＋２）－（①＋１）＝１ｍ移動している。
よって、シャドーがＣに到着するのは28/３÷１＝28/３秒後

＠余談＠
〇：〇に内分する点の位置がどう変化するか、条件を変えて調べてみました。
●１：１に内分する点
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ１ｍ/ｓ→変化なし
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ２ｍ/ｓ→左に1/2ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ３ｍ/ｓ→左に１ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ４ｍ/ｓ→左に1.5ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ５ｍ/ｓ→左に２ｍ/ｓ
*左に１/２ｍずつ移動。文字式で表すと、Ｄ－１/２（Ａ＋Ｄ）＝１/２Ｄ－１/２Ａ

●２：１に内分する点
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ１ｍ/ｓ→左に1/3ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ２ｍ/ｓ→左に１ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ３ｍ/ｓ→左に5/3ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ４ｍ/ｓ→左に7/3ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ５ｍ/ｓ→左に３ｍ/ｓ
*左に２/３ずつ移動。Ｄ－１/３（Ａ＋Ｄ）＝２/３Ｄ－Ａ/３

●３：１に内分する点
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ１ｍ/ｓ→左に1/2ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ２ｍ/ｓ→左に5/4ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ３ｍ/ｓ→左に２ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ４ｍ/ｓ→左に11/４ｍ/ｓ
Ａ１ｍ/ｓ＋Ｄ５ｍ/ｓ→左に７/２ｍ/ｓ
*左に３/４ずつ移動。Ｄ－１/４（Ａ＋Ｄ）＝３/４Ｄ－Ａ/４

（３）

ＡとＤから壁の上端を通るカメラの視線をひく。
あいだの２ｍが、いずれのカメラからも見えない領域。
右の三角形の相似比は、12：32＝③：⑧（区間は⑤）

２ｍの左は⑤－③＝②
⑤＝10ｍ→②＝４ｍ
壁Ｂの高さは、24×６/16＝９ｍ

（４）

Ｅ；28ｍと、Ｏ；０ｍは固定。ＡとＤの高さが変わる。
最初に四角形ＡＯＤＥが平行四辺形になるのは、Ｏ～ＡとＤ～Ｅの高低差が等しいとき。
２秒後；Ｄ28ｍ、Ａ２ｍ→４秒後に高低差４ｍで等しくなる。
（*計算で求めると、Ｄ②＝Ａ①＋２ｍ、①＝２ｍ→Ａは４ｍ移動→４秒後）

ＡとＤの高さがすれ違い、16秒後にＤはＯにくるがＡはＥから遠い。
24秒後にＡが到着、Ｄが出発するが、Ａが休んでいる間はＡＥ＝４のままである！
Ｄが４ｃｍ移動した26秒後にＯ～ＤとＡ～Ｅの高低差が等しくなり、平行四辺形となる。
４秒後、26秒後

（５）

この３点が一直線上にあることを説明する。

上から見た図で、高さ０ｍになるまでマスを描く。
３点は正方形の対角線上（一直線上）にある。
絵があたってたら正解にして欲しいのだが(;´･ω･)
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