問題ＰＤＦ
下の（例）のように、同じ整数を３回かけた数の答えは、連続する奇数の和で表すことが出来ます。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）
６×６×６を連続する奇数の和で表しなさい。
（２）
10×10×10を連続する奇数の和で表したとき、
その奇数の中で一番小さい奇数と一番大きい奇数の和を求めなさい。
（３）
（２×２×２）＋（３×３×３）＋（４×４×４）＋…＋（20×20×20）を求めなさい。
答えだけでなく、途中の計算や考え方も書きなさい。
＠解説＠
（１）
結果を観察して規則を探る。
２×２×２は、真ん中が４で項の数は２個。
３×３×３は、真ん中が９で項の数は３個。
偶数だと項の数も偶数で、平方数の±１、±３…がペアで左右にあらわれる。
奇数だと項の数も奇数で、平方数を中央に平方数の±２、±４…がペアで左右にあらわれる。
６×６×６の項の数は６個。平方数36の±１、±３、±５が連なる。
６×６×６＝31＋33＋35＋37＋39＋41
（２）
仕組みさえわかれば、すぐ解ける。
項の数は10個、左右に５個ずつのペアがあらわれる。
平方数100の±１、±３…±９となり、ペアの和は99＋101＝200
（３）
右辺の数字の並びをよく見ると、１を除く奇数が連続している。
ということは、20×20×20の最後の奇数までの和から１を引けばいい。
項の数は20個、左右で10個ずつ。
401を１番目とすると、10番目の奇数は419。
【１～Ｎ番目までの奇数の和→Ｎ×Ｎ】
e.g.)３は２番目の奇数→１＋３＝４＝２×２
７は４番目の奇数→１＋３＋５＋７＝16＝４×４
419は、（419＋１）÷２＝210番目の奇数
したがって、210×210－１＝44099
＠３乗和の公式＠
１乗和の公式（１＋２＋･･･ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）/２
３乗和の公式（1×1×1＋2×2×2＋ｎ×ｎ×ｎ）＝{ｎ（ｎ＋１）/２}2
３乗和は１乗和の値を２回かけるだけで出せてしまう。
（ex.１～20までの３乗和の場合。１～20の１乗和が210だから、３乗和は210×210＝44100）
これは幾何の発想で公式を導くことができます。詳しくはコチラ→ロボット・ＩＴ雑食日記
３乗和が１乗和の２乗。２乗なので正方形の面積で考える。
１×１×１が青の正方形。
２×２×２は２×２の正方形が２つあり、１つを半分にわけてくっつけると青＋緑の正方形の面積になる。
３×３×３は３×３の正方形を３つくっつける（オレンジ）。
４×４×４は４×４の正方形が４つあり、１つを半分にわけてくっつける（赤）。
全体の正方形をみると、１辺が１の正方形、１＋２の正方形、１＋２＋３の正方形、１＋２＋３＋４の正方形…と広がっていくので、３乗和は１乗和の２乗となる。
浅野中学で２乗和が出ています。
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