問題ＰＤＦ
ＡＢ＝24ｃｍ、ＡＤ＝18ｃｍ、ＡＥ＝24ｃｍの直方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨがあり、
辺ＡＥ、ＢＦ、ＣＧ、ＤＨの真ん中の点をそれぞれＫ、Ｌ、Ｍ、Ｎとします。
また、ＣＥとＡＭの交点をＪとします。
＜図１＞は四角形ＡＥＧＣをぬき出したものです。

（１）
ＥＪ：ＪＣを最も簡単な整数の比で表しなさい。
また、底面をＥＦＧＨとしたとき、点Ｊの高さは何ｃｍですか。

（２）
長方形ＫＬＭＮとＡＨ、ＡＦ、ＪＦ、ＪＨとの交点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとします。
①ＰＱ、ＳＲの長さはそれぞれ何ｃｍですか。
②四角形ＰＱＲＳの面積は何ｃｍ²ですか。

＠解説＠
（１）

断面図が提供されている。
△ＡＥＪと△ＭＣＪが相似。
ＥＪ：ＪＣ＝２：１

24ｃｍの高さの比を③とすると、Ｊの高さの比は②に相当する。
Ｊの高さ…24×②/③＝16ｃｍ

（２）①

ＰＱを１辺とする三角形は△ＡＰＱ。
ＰＱが含まれる面ＫＬＭＮは面ＥＦＧＨと平行→ＰＱとＨＦも平行。
△ＡＰＱと△ＡＨＦの相似比は１：２。ＨＦの長さがわかればいい。

算数の範囲で解ける直角三角形の斜辺の長さは有名三角形に限られる。
△ＨＥＦの辺の比を調べると３：４：５だから、ＨＦ＝30ｃｍ
ＰＱ＝30÷２＝15ｃｍ

同様に△ＪＳＲと△ＪＨＦが相似。
先ほどＪの高さは16ｃｍと出している。
ＳとＲの高さは12ｃｍだから、高さの比から相似比は△ＪＳＲ：△ＪＨＦ＝①：④
ＳＲ＝30×①/④＝7.5ｃｍ
答え…ＰＱ＝15ｃｍ、ＳＲ＝7.5ｃｍ

②
出しづらい:;(∩´＿`∩);:

（＜は平行線の印）
ＰＱとＨＦが平行、ＳＲとＨＦが平行ということは、ＨＦを媒介にＰＱとＳＲも平行である。

上から見た図を作成。（長方形の頂点は便宜上、ＥＦＧＨを打ちました）
前問の図より、ＪＲ：ＲＦ＝①：③
上底ＳＲの２倍がちょうど下底ＰＱなので、△ＰＲＳ：△ＰＱＲ＝①：②
△ＰＱＲの面積を３/２倍すれば台形ＰＱＲＳになる。

ＳＲとＥＦを延長した交点をＴとする。△ＰＱＲと△ＰＱＴは等積である。
△ＰＱＴの高さはＰＥ＝９ｃｍ。底辺ＱＴさえわかればいい。

Ｓ・Ｒの位置はＪに由来するので、Ｊから考える。
（１）のＥＪ：ＪＣ＝２：１は直方体の対角線。
この斜め線の比は縦方向と横方向を内分する比と同じである。
上図は緑の数字でＪの位置を特定した。

Ｒの垂線の足をＵとする。ＪＲ：ＲＦ＝①：③を用いて、
ＲＵ＝12×③/④＝９ｃｍ
ＵＦ＝８×③/④＝６ｃｍ

ＱＦ＝12ｃｍだから、ＱＵ＝12－６＝６ｃｍ
△ＰＥＱと△ＲＵＴに着目すると、斜辺が平行でＰＥ＝ＲＵの直角三角形→合同（１辺両端角）
ＵＴ＝ＥＱ＝12ｃｍ
ＱＴ＝６＋12＝18ｃｍ
したがって、18×９÷２×③/②＝121.5ｃｍ²

＠別解＠

歪んじゃいましたが、ＰＥ＝ＲＵ＝９ｃｍということは四角形ＰＥＵＲは長方形です。
△ＰＱＲは長方形の半分である点からも、18×９÷２×３/２の式が導けます。
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