問題ＰＤＦ
Ａ君はツルを１個折るのに130秒、カメを１個折るのに90秒かかります。
Ｂ君はツルを１個折るのに160秒、カメを１個折るのに120秒かかります。
（１）
Ａ君とＢ君が２人合わせてツルを20個折りました。
Ａ君が折っていた時間とＢ君が折っていた時間の合計は2990秒でした。
Ａ君が折ったツルの個数を答えなさい。
（２）
Ａ君とＢ君が同時に折りはじめ、２人合わせてツルを10個、カメを10個折りました。
Ａ君が折っていた時間とＢ君が折っていた時間の合計は2500秒でした。
①
Ａ君はツルとカメを何個ずつ折りましたか。
考えられる組み合わせを下の例にならってすべて答えなさい。
例）ツルを１個、カメを３個折った場合・・（１、３）
②
①の答えの組み合わせの中で、折りはじめてから完成するまでにかかった時間が最も短くなる組み合わせと、そのときにかかった時間を答えなさい。例えば、Ａ君が2000秒、Ｂ君が500秒折っていた場合は、完成するまでに2000秒かかったことになります。
（３）
Ａ君とＢ君が同時に折りはじめ、２人合わせてツルを10個、カメを10個折るとき、完成するまでにかかる時間は最も短くて何秒ですか。また、そのとき、Ａ君はツルとカメを何個ずつ折りましたか。（２）の例にならって、考えられる組み合わせをすべて答えなさい。
＠解説＠
（１）
ツルだけ。典型的な鶴亀算。
太い枠線が2990。
左上の長方形は、160×20－2990＝210
210÷（160－130）＝７個
（２）①
ここから厳しくなってくる(;´Д｀)
ツル10個、カメ10個、ＡとＢで時間の合計が2500秒となる組み合わせを見つける。
数字を斜めに見てみよう。
130＋120＝250秒、90＋160＝250秒
…ということは、Ａがツルだけ、Ｂがカメだけ折ると2500秒。
反対に、Ａがカメだけ、Ｂがツルだけ折っても2500秒になる。
Ａがツルだけ（ツル10個）、Ｂがカメだけ（カメ10個）折る時間が2500秒。
もし、Ａが１個だけツルからカメに交換すると、この場合も時間の合計は2500秒となる。
なぜなら、Ａがツル→カメのとき、130秒→90秒と40秒短くなるが、
Ｂがカメ→ツルだと、120秒→160秒と40秒長くなるので、時間の合計は変わらないから。
つまり、Ａがツルだけでカメを全く折らない（10、０）から段階的に考えると、
組合せは（10、０）（９、１）（８、２）（７、３）（６、４）（５、５）
（４、６）（３、７）（２、８）（１、９）（０、10）となる。
数字を観察し、数的センスで突破する。
②
①の答えの中から時間の合計ではなく、完成までの時間が最も短くなる組み合わせを求める。
完成までの時間を短くするには、できるだけＡとＢが同時に作業している時間を増やす。
（10、０）の場合、すなわち、Ａがツル10個、Ｂがカメ10の場合、
Ａ…130×10＝1300秒
Ｂ…120×10＝1200秒
全体で作業は1300秒で完了する。
ここから、Ａのツル１個をカメ１個に交換（Ｂのカメ１個をツル１個に交換）していく。
すると、Ａの作業時間は－40秒、Ｂの作用時間は＋40秒となるので、
Ａ（10、０）→Ａ：1300秒 Ｂ：1200秒
Ａ（９、１）→Ａ：1260秒 Ｂ：1240秒
Ａ（８、２）→Ａ：1220秒 Ｂ：1280秒
Ａ（７、３）→Ａ：1180秒 Ｂ：1320秒
ＡとＢの時間が逆転する付近が、ＡとＢが同時に作業する時間が長くなるので、
完成までの時間も短くなる。
（９、１） 1260秒
*カメよりツルの方が折るのに時間を要し、
ツルもカメもＢよりＡの方が折る時間が短いので、
折るのに苦労するツルをＡに多く担当させたほうが良いとの発想を持つ。
（３）
満点とらせない問題(;´Д｀)
本番では捨てていいと思う。。
（２）では２人の時間の合計が2500秒と設定されていたが、
本問ではその条件が外れたうえで、作業完成までの時間が最も短くなる組み合わせを求める。
（２）はＡが折るツル・カメの合計枚数が10枚だったので、
Ａの合計枚数を場合分けして調べる。
◆Ａの合計が９枚以下。
ツル・カメそれぞれ10個、計20個折るが、ツルもカメもＡの方が早く折れる。
Ａが９枚だと、遅いＢが11枚担当することになり、作業時間が遅れるので×。
◆Ａの合計が11枚。
（２）でＡ（９、１）のとき、1240秒だったので、
Ａがツルをもう１個折ると、（10、１）＝1240＋130＝1370秒となる。
このとき、Ｂ（０、９）＝120×９＝1080秒
ここから、Ａのツル１個をカメに、Ｂのカメ１個をツルに交換していく。
Ａ（10、１）＝1370秒 Ｂ（０、９）＝1080秒
Ａ（９、２）＝1330 Ｂ（１、８）＝1120
Ａ（８、３）＝1290 Ｂ（２、７）＝1160
Ａ（７、４）＝1250 Ｂ（３、６）＝1200
Ａ（６、５）＝1210 Ｂ（４、５）＝1240
ここで逆転するので、1240秒が最短。
◆Ａの合計が12枚。
Ａ（10、２）＝1460 Ｂ（０、８）＝960
Ａ（９、３）＝1420 Ｂ（１、７）＝1000
･･･
Ａ（５、７）＝1280 Ｂ（５、３）＝1260
Ａ（４、８）＝1240 Ｂ（６、２）＝1200
Ａ（３、９）＝1200 Ｂ（７、１）＝1240
同様に、1240秒で逆転。
◆Ａの合計が13枚。
Ａ（10、３）＝1570 Ｂ（０、７）＝840
･･･
Ａ（２、11）＝1250 Ｂ（８、－１）＝×
1240秒に近づけると、Ａのカメが11個となり、10個をオーバーしてしまう。
よって、作業時間は1240秒。
作業時間が最短となるときのＡの組み合わせは、（６、５）（４、８）（３、９）。
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