2020年度 麗澤中学過去問【算数】大問4解説

麗澤中学校で1年生の交流を深めるためにクラス対抗ラグビー大会を実施しました。
試合中の得点は、次のルールにしたがって点数が加算されます。
①トライ…5点、②コンバージョンゴール…2点、③ドロップゴール…3点
ただし、コンバージョンゴールはトライの回数以下です。
A、B、C、Dの4クラスが参加し、総当たりのリーグ戦を行いました。
リーグ戦は次のルールにしたがって勝ち点を計算しました。
①勝ち…4点 ②引き分け…2点 ③負け…0点
④勝敗に関係なく、トライの回数が4回以上…1点
⑤負けた場合、点差が7点以内…1点

A組とB組の対戦では、31-17でA組が勝利しました。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)
試合は全部で何試合行われたか答えなさい。

(2)
A組とB組の対戦でのA組の点数の取り方は、何通りあるか答えなさい。
ただし、点数が加点された順番は考えなくてかまいません。

大会が進み、残りはA組とD組の対戦のみとなりました。
ここまでの結果として、次のことがわかっています。
・C組とD組の対戦では、C組が3回トライし17点差で勝利した。
・B組とD組の対戦は引き分けではなく、D組のトライの回数の方が多かった。
・B組とC組の対戦では、C組が3回トライしたがB組は負けなかった。
・A組とC組の対戦では、A組が2回トライし10点差で勝利した。
・B組の勝ち点は3、D組の勝ち点は4です。
なお、この大会の優勝クラスの決定方法は勝ち点が一番多かったクラスです。
ただし、勝ち点で並んだクラスがあったときは直接対決で勝ったクラスが優勝とします。
(3)
A組とD組の対戦が終了し、D組が優勝したとき、
各組の勝ち点の組み合わせは何通りあるか答えなさい。


@解説@
(1)
4組で総当たり戦(リーグ戦)。

↑こんなヤツです。6試合。

(2)
31点の中身を調べる。
@条件@
トライ…5点、コンバージョンゴール…2点、ドロップゴール…3点
ただし、コンバージョンゴールはトライ以下の回数。
得点の大きいトライの回数で場合分け
■トライ6回
31-5×6=1点
残り1点が作れないので×。
■トライ5回
31-5×5=6点
2×3と、3×2の2通り。
■トライ4回
31-5×4=11点
2×4+3と、2+3×3の2通り。
■トライ3回
31-5×3=16点
2×2+3×4の1通り。
■トライ2回
31-5×2=21点
3×7の1通り。
■トライ1回
31-5×1=26点
2×1+3×8の1通り。
■トライ0回
残り31点を作れない×。
したがって、7通り。
*トライが多いときはドロップ、少ないときはコンバージョンで場合分けした方が良いかな?(‘ω’)

(3)
推論問題。条件がフクザツで厳しいよ~(´Д`)
この問題に精を尽くすより、他を確実にとった方が良いです。

だいたいこの手の問題は、最後に挙げられた情報が一番重要であったりする(´-`).。oO
Bの勝ち点は3、Dの勝ち点はD
〔BvsC〕でBが勝ってしまうと、Bの勝ち点が+4になってしまう。
BとCは引き分けとなる。Bはトライ4回以上の可能性あり。
同様に、〔BvsD〕でBが勝つとBの勝ち点が+4になってしまう。
Bは負け、Dが勝ち。いずれもトライ4回以上の可能性はあり、
Bはドロップゴールをたくさん決めて7点差以内で負けたかもしれない。
だが、DはBとの勝利で勝ち点が4なので、これまでに追加点はなかったことになる

これを踏まえたうえで条件を整理する。
トライの回数が4回以上、もしくは負けても7点差以内でもらえる1点の処理がキツイ。
この1点が不明な場合、以下、△とあらわす
〔AvsB〕A:4+△ B:0
*勝ったAは4点、負けたBは0点。
前問のようにAは31点のうち、トライが4回以上の場合がある。
Bは14点差で負け、17点ではトライは最大で3回だから追加点はない。
〔AvsC〕A:4 C:0+△
*Aはトライ2回で追加点なし。Cはトライ4回以上がありうる。
(たとえば、Cがトライだけで5×
4=20点。Aは5×2+2×1+3×6=30点のとき)
〔AvsD
〕まだ行われていない。
〔BvsC〕B:2+△ C:2
*Bはトライ4回以上の可能性あり。
〔BvsD〕B:0+△+△ D:4
*Bはトライ4回以上、もしくは7点差で負けた可能性あり。
〔CvsD〕C:4 D:0+△
*Cはトライ3回で追加点なし。Dはトライ4回以上の可能性がある。
(たとえば、Dはトライだけで5×4=20点。Cは5×3+2×2+3×6=37点のとき)
現時点で勝ち点は少なくともA8点、B2点、C6点、D4点
Bの勝ち点は3なので、どこかの△が1だが、
AとDの対戦でこれ以上は増えない。Bは勝ち点3で確定
最終的にDが優勝するので、DはAに勝つことになる
〔AvsD〕A:0+△+△ D:4+△
A8点、B3点(確定)、C6点、D8点

■AとDの勝ち点が同点。
この場合、直接対決で制したDが優勝するので条件に適合する。
Aの△は3つ、Dの△は1つ。
(A、D)=(8、8)(9、9)の2通り。
■Dの勝ち点がAより大きい。
(A、D)=(8、9)の1通り。

さらに、Cに△が1つあるので、Cの勝ち点は6か7で2通りある。
よって、各組の勝ち点の組み合わせは、(2+1)×2=6通り
*実際の試合ではドロップゴールは難しい( ˘ω˘ )
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