2023年度 早稲田中学2回目過去問【算数】大問5解説

問題PDF
ある国には、貨幣として4円玉、9円玉、12円玉、25円玉の4種類の硬貨しかありません。

次の問いに答えなさい。

(1)
ちょうど支払うことのできない金額は全部で何通りありますか。

(2)
2023円の商品を買うとき、ちょうど支払うために必要な硬貨は最も少なくて何枚ですか。

(3)
Aさんがもっている硬貨の枚数は、Bさんがもっている硬貨の枚数より1枚少ないですが、
その金額は同じでした。このような金額のうち、最も少ないのは何円ですか。

(4)
PさんとQさんはそれぞれ組み合わせが違う4枚の硬貨をもっていて、
その金額は同じでした。このような金額のうち、最も少ないのは何円ですか。


@解説@
(1)
金額を小刻みに調節しやすいのは安い硬貨である。
そこで、4円と9円を使って支払えない金額を求めてみる

1行4つの数列を書く。
右の列は4の倍数だから、4だけで作れるので除外。
残りの3列で9の倍数以下を消すと、23が支払えない最大の金額である。
12円は4の倍数だから除外されている。23円は25円より安い。
除外されない〔1・2・3・5・6・7・10・11・14・15・19・23〕が支払えない金額。
12通り

(2)
すべて25円硬貨で支払ったとすると、2023÷25=80枚…23円
前問より、23円は4枚の硬貨で支払えない金額であった。
そこで、25枚硬貨を79枚とすると、残りの金額は23+25=48円
48円=12円×4枚
79+4=83枚

もし、25円硬貨を78枚とすると、残りは48+25=73円
73円を25円硬貨以外で払おうとすると、6枚以上は必要である。
よって、最も少ない枚数は83枚。

(3)
3種類以上の硬貨を使うパターンもあり、どうしていいのか迷う(;´・ω・)
(1)より答えは24円以上である。

4と12は4の倍数、9と25は4の倍数+1
4×3=12→4円硬貨と12円硬貨は2枚差で同額になる→
1枚差で同額は作れない。
4の倍数+1である9円硬貨と25円硬貨同士でも無理。

そこで、4の倍数と4の倍数+1の組み合わせを考える。
25円硬貨を1枚使うとき、25=4+9+12(1枚と3枚)→2枚差で不適。
25円を2枚使うと金額が大きくなるので、9円硬貨に絞って考えてみる。

9円硬貨を4枚集めると4の倍数になる。
9×4=4×9=12×3
9円硬貨4枚と12円硬貨3枚で1枚差の同額となる。
よって、36円。

@余談@
25円硬貨を1枚使うと不可能

残りの4・9・12の最小公倍数36から、これに当たりをつけてしまうのも手かな…。

(4)
4枚の硬貨の種類が異なりつつ、金額が同じになった。

たとえば、1枚目はPの方が5大きい、2枚目も5大きい、3枚目は3大きく、
4枚目はQの方が13大きい場合、+13と-13で差の合計がプラスマイナスゼロになる。
つまり、差の合計がゼロになると4枚の硬貨の合計は等しくなる

そこで、各硬貨の差をとってみる。

金額を少なくするので、4円と9円の組み合わせをできるだけ増やす。
差【5+5+3=13】
P;4+4+9+25
Q:9+9+12+12=42円

・・と思ったのですが、コメ欄にてご指摘がございまして、
1枚は互いに4円硬貨を持って差を0にするパターンがありました。
差【0+5+8=13】
P;4+4+4+25
Q;4+9+12+12=37円
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

  1. 一條 より:

    ⑷ですが、Pさんが4円玉×1、9円玉×1、12円玉×2で、Qさんは4円玉×3、25円玉×1の37円の方が少ないのではないですか?

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      リンクは貼らなくて大丈夫ですよ!

      あ゛あ゛あ゛っ!!
      同種の4円で差0をつくる視点が抜けておりました。
      あとで訂正を加えさせて頂きます。ご指摘して頂き、感謝でございます。

  2. 一條 より:

    ⑷についてですが、Pさんが4円玉×1、9円玉×1、12円玉×2、Qさんが4円玉×3、25円玉×1の37円の方が安いのではないですか?

    (先程リンクが欠落したまま送信してしまいました。申し訳ごさいません。)

タイトルとURLをコピーしました