2023年度 豊島岡女子学園中学2回目過去問【算数】大問6解説

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下の図のように、1辺の長さが8cmの立方体ABCD―EFGHがあり、
辺FGの真ん中の点をMとします。正方形BFGCの内部に直線MPの長さが1cm、
角PMFの大きさが90度となるように点Pをとります。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
辺DH上にDQの長さが2cmとなるように点Qをとります。
3点A、P、Qを通る平面と辺FBが交わる点をIとするとき、FIの長さは何cmですか。 

(2)
点Rは辺CD上の点です。3点A、P、Rを通る平面でこの立方体を切ったところ、
切り口の形が五角形になりました。このとき、DRの長さは〔  〕より長くなります。
〔  〕にあてはまる数のうち最も小さい数を答えなさい。

(3)
下の図は正方形CGHDを1辺の長さが1cmの正方形に分割したものであり、
●はその正方形の頂点です。点Sは 下の図の ● のいずれかの点です。
3点A、P、Sを 通る平面でこの立方体を切ったところ、切り口の形が五角形になりました。
このとき、●で示した81個の点のうち、点Sの位置としてふさわしいものは何個ありますか。


@解説@
(1)

A→D→Qは右に8、下に2の勾配こうばい。(逆にいえば下に2、右に8)

Pを通るAQに平行な線を引く。
同じ勾配でPから下に1、右に4移動すると、ちょうどGにぶつかる。
GPを延長し、BFとの交点がIとなる。
IF=2cm

(2)
頭がこんがらがる。。

RがDからCに向かう。

スタートのDでの切断面は青枠の四角形。
途中で五角形に切り替わるタイミングがあり、ゴールのCでは赤枠の四角形に戻る。
固定点はAとP。スタートのDから考えると、距離が遠いP側の動きが把握しづらい…。

そこで、ゴールのCからさかのぼると、ちょっと戻るだけで面CGHD上に三角形ができることで、
頂点の数が1個増えて切断面は五角形になる。
CG上の点をJ、FG上の点をKとして、ゴール時のCから逆再生してJKの動きを追うと、
JはCから下がってJPの傾きが緩やかになり、その延長にあるKは左方向に動く。

EF上の点Lを見てみると、ARとLKは平行でARがADに接近することから、
LはKと同様にF方向に動いている。
外側に延長した切断面が隆起してFに交われば、KとLはFで一致する。
→頂点が1個減って切断面が四角形になる。

△ABFは等辺8cmの直角二等辺三角形。

中間が等辺7cmなので、△RCJは等辺6cmの直角二等辺。
DR=8-6=2cm

(3)

前問でDR=2cmを超えた瞬間に、切断面が四角形から五角形になった。

左上図のRJより左側にSがあると五角形になる。
しかし、RがCにあるときは四角形だったので、Cは除外する

Rの動きから正方形CGHDの左上がわかったので、

今度は残りの右下について、(1)のQをH方向に動かして調べる。
DQ=2cmを超えると切断面の頂点Gから頂点が2つに分かれて五角形になる
→QGより右にSがあると五角形。

RがCにあるときに四角形だったので、QがHにあるときを調べると同様に四角形である点に注意!
切断面が立方体の頂点に交わると、2つの頂点が統合されて頂点の数が1個減る。

直線上の点は含まない。該当するSの位置は20+29=49個
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