2024年度　海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ
　表の太枠部分（太い線で囲まれた部分）である上１行目と左１列目のマス目に０以上の整数を小さい順に書いた後、それ以外の細枠部分のマスそれぞれに対して、上１行目に書かれた数と横１列目に書かれた数の和を記入します。表１では上１行目に０、１、２、左１列目に０、３を書いて、和を記入して完成した表です。このとき、表１では、細枠部分に０から５までの数がすべてもれなく１度ずつ記入されています。

（１）
細枠部分に０から５までの数が１度ずつ現れるような表が、表１のほかにも考えられます。
その場合の上１行目３マスの数の配置を答えなさい。

（２）
表２のように上１行目の太枠部分４マス、左１列目の太枠部分２マスに数を書いた後に和を記入すると、細枠部分に０から７までの数が１度ずつ現れました。このような上１行目の数の配置を３通り答えなさい。

表３のように太枠部分が上１行目23マス、左１列目17マスの表があります。

（３）
和を記入すると、細枠部分に０から390までの数が重複することなく１つずつ現れるような太枠部分の数の配置は何通りありますか。

　表４のように太枠部分が上１行目６マス、左１列目６マスの表で、和を記入すると、細枠部分に０から35までの数が１度ずつ現れるような配置を考えます。左１列目には１は含まれないこととすると、上１行目の太枠部分の数の配置は表５の例を含め全部で７通りあります。

（４）
空欄あ～こを埋めて上１行目の残りの６通りの配置をすべて答えなさい。

（１）

（２）

青枠は確定。赤枠を変えて埋めてみる。
赤枠＝１として、重複を避けて２を作るには上１行目に２を入れる。
７の上は６。残りを埋めるとこのようになる。

赤枠＝２。１を作るのに上１行目に１…と順に埋めていく。

赤枠＝３だと４が重複して６が作れない。。
赤枠＝４だと上図のようにうまくいく。
赤枠＝５だと右下が８になってしまうので不適。
上１行目は（０、２、４、６）（０、１、４、５）（０、１、２、３）

（３）
難易度あがります(;´･ω･)

今までの５つをボーと眺めてみると、上で作った固まりを加算して下の固まりができ、
下の固まりの最後の数字（最大数）が右上の最初の数字（最小数）につながるように見える…。
②、③の１行目は０、２、４…と数字が飛ぶ。
＋１は数直線上で連続する整数。
１個ずつの固まりを上下で合わせると、（０、１）（２、３）（４、５）…と連なる。

①の１行目は（０、１、２）と連続する３つの整数。
＋３で下の固まりは（３、４、５）
同様に、⑤も（０、１、２、３）で連続、これを＋４すると下の固まり（４、５、６、７）。

④は（０、１）（４、５）で連続性が分断される。
上（０、１）が＋２されて下（２、３）。次は上（４、５）→下（６、７）と繋がる。
３行目以降の検証をしていないが…連続する固まりをつくるのがポイントだと思われる。

23は素数。２個ずつ…３個ずつ…の固まりはできない。
→固まりは１個ずつか23個ずつしかない。
答えは２通りとなる。

数字を埋めるとこのようになる。

（４）

表５を確認しておくと、（０～５）の固まりが下へ降りていく。
固まりの最後５→次の固まりの最初６と連なる。

固まりは連続する整数である。
（０、１、２）で３個の固まり。同数の固まりで（あ、７、８）→あ＝６
ある行までの小さな固まりを大きな固まりにくくる。
次の大きな固まりの最初が６→０～５の６個が大きな固まり。

（０、１、２）（い、10、11）の３個ずつ→い＝９
大きな固まりは０～８の９個。

（０、１）（う、え）（19、20）と２個ずつの固まりにする。
大きな固まりをどのように区切っても小さな固まりは（０、１）のように
（偶数、奇数）の並びになる。19が固まりの左にあるので不適。

（０、１、う）（え、19、20）の固まり→う＝２、え＝18
大きい固まりは（０～17）の18個。

（０、１）（４、お）（８、か）→お＝５、か＝９
大きな固まりは４個ずつ。

仕組みさえわかればすぐ書けるが、試験時間内に読み解くのは厳しい。
き＝７、く＝12、け＝12、こ＝24
あ…６、い…９、う…２、え…18、お…５、か…９、き…７、く…12、け…12、こ…24
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