2023年度　聖光学院中学過去問【算数】大問３解説

問題ＰＤＦ
　１から10までの数が書かれたカードが１枚ずつ、計10枚あり、聖たかしさんと光さんの２人がカードを引き、それぞれ手元に置きます。このとき、次の問いに答えなさい。
ただし、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードは区別するものとします。
たとえば、聖さんの手元のカードが１と２で、光さんの手元のカードが３と４である場合と、聖さんの手元のカードが３と４で、光さんの手元のカードが１と２である場合は区別します。

（１）
聖さん、光さんが１枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

（２）
聖さん、光さんが２枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

（３）
聖さん、光さんが５枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードに書かれた数の和が光さんの手元のカードに書かれた数の和より15だけ大きくなりました。このとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

（４）
聖さん、光さんが５枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードに書かれた数の積が光さんの手元のカードに書かれた数の積の７倍になりました。このとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

（２）
聖が10枚から２枚選ぶ。光が残った８枚から２枚選ぶ。
₁₀Ｃ₂×₈Ｃ₂＝1260通り

（３）
ここから問題のテイストが変わる。
１～10の和は、（１＋10）×10÷２＝55
聖と光のカードの和は55、差が15。
和差算を使って、聖…（55＋15）÷２＝35、光…55－35＝20

和の少ない光で考える。
〇＋〇＋〇＋〇＋〇＝20（〇は１～10）
この組み合わせを考える。最大数10から場合分け。
●【〇＋〇＋〇＋〇】＋10＝20
１＋２＋３＋４＝10しかない。１通り

●【〇＋〇＋〇＋〇】＋９＝20
４つの〇の和を11にする。
先ほどの１＋２＋３＋４のどこかを＋１すればいい。
重複はできないので４を５に変えて、１＋２＋３＋５の１通り。

●【〇＋〇＋〇＋〇】＋８＝20
先ほどの１＋２＋３＋５のどれかを重複しないで＋１する。
１＋２＋３＋５→１＋２＋４＋５
１＋２＋３＋５→１＋２＋３＋６
２通り

●【〇＋〇＋〇＋〇】＋７＝20
１＋２＋４＋５→１＋３＋４＋５
１＋２＋４＋５→１＋２＋４＋６
１＋２＋３＋６の６を＋１してしまうと７が重複する。×
２通り

●【〇＋〇＋〇＋〇】＋６＝20
１＋３＋４＋５→２＋３＋４＋５
２＋３＋４＋５＋６＝20で終わり。１通り
計７通り

（４）

聖＝光×７ということは、聖の〇４つの積が光の〇５つの積になればいい。
７以外の素因数をみていくと、
【１】【２】【３】
【４】＝２×２
【５】
【６】＝２×３
【８】＝２×２×２
【９】＝３×３
【10】＝２×５

２の素因数が８個、３の素因数が４個、５の素因数が２個ある。
⇒２の素因数を４個、３の素因数を２個、５の素因数を１個に振り分ける。

・【４】と【８】で素因数２が合計５個だから、必ず分かれる。
・【３】【６】と【９】も分かれる。
・【５】と【10】も分かれる。
どう振り分けるべきか悩む(´～`)
（３、６）の固まりに注意してみる。
①
聖：７、３、６、10、４
光：９、５、２、８、１
聖に３と６、光に９を振り分ける。
そのうえで聖に10、光に５。
２の素因数は４個ずつだから、聖の残りは４しかない。

②
聖：７、３、６、５、８
光：９、10、２、４、１
５と10をチェンジしてみた。
聖の２の素因数は３個必要だから、残りは８しかない。

③④
聖：７、９、10、（１、８）
光：３、６、５、（２、４）
今度は聖に９、光に３と６を振り分ける。
聖に10、光に５とする。
２の素因数はともに残り３個。
１×８＝２×４いずれでもいけるので２通りある。

⑤
聖：７、９、５、２、８
光：３、６、10、１、４
先ほどの５と10をチェンジ。
聖の２の素因数が４個不足だから２×８しかない。
【３】【６】←→【９】、【10】←→【５】の配置変えはこれでおしまい。
計５通り
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