2023年度 聖光学院中学過去問【算数】大問3解説

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 1から10までの数が書かれたカードが1枚ずつ、計10枚あり、聖(たかし)さんと光さんの2人がカードを引き、それぞれ手元に置きます。このとき、次の問いに答えなさい。
ただし、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードは区別するものとします。
 たとえば、聖さんの手元のカードが1と2で、光さんの手元のカードが3と4である場合と、聖さんの手元のカードが3と4で、光さんの手元のカードが1と2である場合は区別します。

(1)
聖さん、光さんが1枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

(2)
聖さん、光さんが2枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

(3)
聖さん、光さんが5枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードに書かれた数の和が光さんの手元のカードに書かれた数の和より15だけ大きくなりました。このとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

(4)
聖さん、光さんが5枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードに書かれた数の積が光さんの手元のカードに書かれた数の積の7倍になりました。このとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。


@解説@
(1)
10枚から聖が1枚、光が1枚選ぶ。
聖・光のカードは区別するので、10枚から順番をつけて2枚選ぶ
*たとえば、3と4を選んで(聖、光)=(3、4)(4、3)
102=10×9=90通り

(2)
聖が10枚から2枚選ぶ。光が残った8枚から2枚選ぶ。
102×82=1260通り

(3)
ここから問題のテイストが変わる。
1~10の和は、(1+10)×10÷2=55
聖と光のカードの和は55、差が15。
和差算を使って、聖…(55+15)÷2=35、光…55-35=20

和の少ない光で考える
〇+〇+〇+〇+〇=20(〇は1~10)
この組み合わせを考える。
最大数10から場合分け。
●【〇+〇+〇+〇】+10=20
1+2+3+4=10しかない。1通り

●【〇+〇+〇+〇】+9=20
4つの〇の和を11にする。
先ほどの1+2+3+4のどこかを+1すればいい
重複はできないので4を5に変えて、1+2+3+5の1通り。

●【〇+〇+〇+〇】+8=20
先ほどの1+2+3+5のどれかを重複しないで+1する。
1+2++5→1+2++5
1+2+3+→1+2+3+
2通り

●【〇+〇+〇+〇】+7=20
1++4+5→1++4+5
1+2+4+→1+2+4+
1+2+3+の6を+1してしまうと7が重複する。×
2通り

●【〇+〇+〇+〇】+6=20
+3+4+5→+3+4+5
2+3+4+5+6=20で終わり。1通り
計7通り。

(4)
時間かかる(;`ω´)

聖=光×7ということは、聖の〇4つの積が光の〇5つの積になればいい
7以外の素因数をみていくと、、
【1】【2】【3】
【4】=2×2
【5】
【6】=2×3
【8】=2×2×2
【9】=3×3
【10】=2×5

2の素因数が8個、3の素因数が4個、5の素因数が2個ある。
2の素因数を4個、3の素因数を2個、5の素因数を1個に振り分ける

・【4】と【8】で素因数2が合計5個だから、必ず分かれる。
・【3】【6】と【9】も分かれる。
・【5】と【10】も分かれる。
どう振り分けるべきか悩む。。(´~`)
(3、6)の固まりに注意してみる。

聖:3、610、4
光:、2、8、1
聖に3と6、光に9を振り分ける。
そのうえで聖に10、光に5。
2の素因数は4個ずつだから、聖の残りは4しかない。


聖:3、6、8
光:10、2、4、1
10をチェンジしてみた。
聖の2の素因数は3個必要だから、残りは8しかない。

③④
聖:
10、(1、8)
光:3、6、(2、4)
今度は聖に9、光に3と6を振り分ける。
聖に10、光に5とする。
2の素因数はともに残り3個。
1×8=2×4いずれでもいけるので2通りある。


聖:、2、8
光:3、610、1、4
先ほどの5と10をチェンジ。
聖の2の素因数が4個不足だから2×8しかない。
【3】【6】←→【9】、【10】←→【5】の配置変えはこれでおしまい。
計5通り。
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