2023年度　海城中学過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
２つの鏡ＬとＭではさまれた区域があります。ＬとＭがつくる角の大きさはｘです。
図のように、光線はＬと平行に入ってきて、鏡に反射して直進します。
ただし、光線が鏡に反射するときには、図のように角アと角イが等しくなります。

（１）
ｘが30°のとき、光線は鏡に何回か反射して、ＬとＭのどちらかと平行に出ていきます。
それは何回で、ＬとＭのどちらと平行ですか。

（２）
ｘが20°のときも、光線は鏡に何回か反射して、ＬとＭのどちらかと平行に出ていきます。
それは何回で、ＬとＭのどちらと平行ですか。

（３）
光線が、鏡に何回か反射してＬと平行に出ていくのは、ｘが次のうちどの角度のときですか。
すべて選びなさい。
〔５°　15°　25°　35°　45°　55°　65°　75°　85°〕

＠解説＠
（１）
反射の問題は鏡の世界をつくる。

光はＬと平行に入ってくる。
最初のＬを基準として時計回りに30°の角を６個並べると180°になる。
この一直線と光は平行で交点がなくなり、光が反射しなくなる。
交点の数は５個→反射の回数は５回。
時計回りにＬ・Ｍ・Ｌ…と打っていくと、最後はＬと平行である。
５回、Ｌ

（２）

同様に調べる。
180÷20＝９個の角を合わせると光と平行になる。
交点の数は８個→反射は８回。最後はＭと平行。
８回、Ｍ

＠余談＠
反射の回数は〔角の個数－１〕回。

（３）

たとえば75°だと平行線が作れない。
鏡Ｌか鏡Ｍに対して光が平行にならないので、どこかで反射が続いてしまう。
180の約数である角でなければ光線は平行に出ていかない。
この時点で５°、15°、45°に絞られる。

前問を振り返ると、角の個数が偶数個でＬ平行、奇数個でＭ平行となる。
180÷５＝36個→Ｌ平行
180÷15＝12個→Ｌ平行
180÷45＝８個→Ｌ平行
全部Ｌ平行！
よって、５°、15°、45°。
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