2023年度 早稲田中学過去問【算数】大問2解説

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(1)

中心角が105°のおうぎ形の紙を、図のように折りました。
点Oが移った点をPとすると、点Pはおうぎ形の周上にあります。
角アの大きさは何度ですか。

(2)
下の図のように、直角三角形にひし形アとひし形イがぴったりと入っています。
ひし形イの1辺の長さは何cmですか。

(3)
1辺が5cmの正方形が2つあり、
たてとよこをそれぞれ等分割して
「早」と「田」の字を書きました。
色の塗られた部分を図のように太線を軸にして1回転させた立体について、
「早」のつくる立体の体積は「田」のつくる立体の体積の何倍ですか。


@解説@
(1)

OPに補助線。
半径より、OB=OP=OA
折り返しでBPも等しい。
△BOPは3辺が等しい正三角形

∠POC=∠OPC=105-60=45°
△OAPは二等辺三角形なので、
45+(45+ア)+(45+ア)=180
2×ア=45°
ア=22.5°

(2)

青腺の三角形は相似で、斜辺:底辺=
菱形イの1辺はにあたり、これを斜辺側に移動させる。

同様に、赤線の三角形も斜辺:底辺=
菱形アの1辺がで、これを斜辺に移動させる。
菱形イの1辺の長さは、4×/×/
48/49cm

(3)
体積比でもいけますが、パップス・ギュルダンの定理を使います。

@パップス・ギュルダンの定理@
回転体の体積=断面積×重心の移動距離

わかりやすい田から検討する。
断面積は、1×1×21=21cm2
田は点対称図形だから重心は真ん中の★にあたる。軸から2.5cm離れている。

早の横は5等分だが、縦は8等分である点に注意!
断面積は、1×5/8×26=130/8cm2

ブロックは縦にスライドすることができる
なぜなら縦方向であればブロックの重心と軸との距離が変わらず、
そのブロックの回転体の体積も変わらないから。
上図のように早を縦にスライドして点対称に変形させると
図形全体の重心と軸までの距離は田と同じ2.5cm

軸との距離が変わらない=重心の移動距離は変わらない。
ということは、回転体の体積比は断面積の比で決着する
早:田=130/8:21=65:84
早の回転体の体積は田の回転体の
65/84倍。
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