2023年度　早稲田中学過去問【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
（１）
中心角が105°のおうぎ形の紙を、図のように折りました。
点Ｏが移った点をＰとすると、点Ｐはおうぎ形の周上にあります。
角アの大きさは何度ですか。

（２）
下の図のように、直角三角形にひし形アとひし形イがぴったりと入っています。
ひし形イの１辺の長さは何ｃｍですか。

（３）
１辺が５ｃｍの正方形が２つあり、
たてとよこをそれぞれ等分割して「早」と「田」の字を書きました。
色の塗られた部分を図のように太線を軸にして１回転させた立体について、
「早」のつくる立体の体積は「田」のつくる立体の体積の何倍ですか。

＠解説＠
（１）

ＯＰに補助線。
半径より、ＯＢ＝ＯＰ＝ＯＡ
折り返しでＢＰも等しい。
△ＢＯＰは３辺が等しい正三角形。

∠ＰＯＣ＝∠ＯＰＣ＝105－60＝45°
△ＯＡＰは二等辺三角形なので、
45＋（45＋ア）＋（45＋ア）＝180
２×ア＝45°
ア＝22.5°

（２）

青腺の三角形は相似で、斜辺：底辺＝④：③
菱形イの１辺は③にあたり、これを斜辺側に移動させる。

同様に、赤線の三角形も斜辺：底辺＝④：③
菱形アの１辺が③で、これを斜辺に移動させる。
菱形イの１辺③の長さは、４×④/⑦×③/⑦＝48/49ｃｍ

（３）
体積比でもいけますが、パップス・ギュルダンの定理を使います。

＠パップス・ギュルダンの定理＠
【回転体の体積＝断面積×重心の移動距離】

わかりやすい田から検討する。
断面積は、１×１×21＝21ｃｍ²
田は点対称図形だから重心は真ん中の★にあたる。軸から2.5ｃｍ離れている。

早の横は５等分だが、縦は８等分である点に注意！
断面積は、１×５/８×26＝130/８ｃｍ²

ブロックは縦にスライドすることができる。
なぜなら縦方向であればブロックの重心と軸との距離が変わらず、
そのブロックの回転体の体積も変わらないから。
上図のように早を縦にスライドして点対称に変形させると、
図形全体の重心と軸までの距離は田と同じ2.5ｃｍ。

軸との距離が変わらない＝重心の移動距離は変わらない。
ということは、回転体の体積比は断面積の比で決着する。
早：田＝130/８：21＝65：84
早の回転体の体積は田の回転体の65/84倍。
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