2021年度 豊島岡女子学園中学2回目過去問【算数】大問3解説

(1)
下の<図1>の正方形ABCDと正方形DEFGは合同です。
三角形BDFが正三角形となるとき、角EBCは何度ですか。

(2)
下の<図2>の正八角形ABCDEFGHと正八角形HIJKLMNOは合同です。
三角形DHLが正三角形となるとき、角JDEは何度ですか。


@解説@
(1)

正三角形と正方形が融合した図形なので、
どこかで2つの図形の情報を組み合わせられないかという発想に持っていく

△BDEと△BFEに注目。
BD=BF(正三角形の1辺
ED=EF(正方形の1辺
BEは共通辺。
3辺が等しいから、△BDEと△BFEは合同

対応する角度は等しいので、∠DBE=∠FBE=60÷2=30°
BDは正方形の対角線。△BCDは直角二等辺三角形→∠DBC=45°
∠EBC=∠DBC-∠DBE=45-30=15°

(2)

(1)と同様に、正三角形と正八角形の情報を使う図形を考える
JHとJLに補助線をひき、先ほどと同じような形にする。
△DHJと△DLJにおいて、DH=DL(正三角形の1辺)、DJの共通辺。
ここで、△IJHと△KJLに注目する。
これらは正八角形の1辺を等辺、あいだの角を正八角形の内角とする二等辺三角形で合同。
JH=JLゆえ、△DHJと△DLJは3辺が等しく、やはり合同
対応する角から、∠HDJ=60÷2=30°
正八角形の4辺を延長すると、正八角形は正方形にスポっとおさまる
四隅は直角二等辺三角形で、正八角形の内角は180-45=135°
DHに着目すると、DとHは正八角形の中心をはさんで対極な位置関係にある
対称性から、DHは正八角形を合同に2等分する。
∠HDE=135÷2=67.5°
∠JDE=∠HDE-∠HDJ=67.5-30=37.5°

@別解@
なきいるかさんから、素晴らしい解法を頂きました(*´д`艸)

正八角形のなかに四角形HBDFと四角形HJLNを結ぶと・・

なんと(1)同じ構図ができあがるw(゚Д゚)w

∠JDF=15°は求めている。
∠FDEは二等辺三角形DEFの底角だから、
∠JDE=∠JDF+∠FDE
=15+(180-135)÷2=37.5°

2018年の算数オリンピック決勝で似たような構図の問題が出題されたようです。
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2021年度 豊島岡女子学園中学2回目過去問【算数】大問3解説」への4件のフィードバック

  1. naki

    はじめまして、片田舎の塾講師です。

    (2)は四角形HBDFと四角形HJLNはともに正方形なので(1)と同じ構図が登場し、
    角JDE=角JDF+角FDE=[(1)の答え]+(180-135)÷2=15+22.5=37.5度 が出題者の意図でしょうか…?

    2018年算オリ決勝の問題にも(構図だけは)似ています。

    返信
    1. 家庭教師サボ 投稿作成者

      コメントありがとうございます。

      正八角形の中に正方形は気づきませんでした(( ;゚д゚))
      あっぱれでございます。
      まさか前問と同じ形にできるとは。。

      ぜひ別解という形で付記したいのですが、
      宜しければハンドルネームと、紹介したいリンク先があれば教えてくださいませ。
      サボ

      返信
  2. naki

    おはようございます。

    ハンドルは なきいるか でお願いいたします。

    算数でも特にパズルっぽい問題は好物なので、ときおりコメントするかもしれません。
    よろしくお願いいたします。

    返信
    1. 家庭教師サボ 投稿作成者

      追記させて頂きました。
      ご査収くださいませ。

      勉強中の身でして、鍛錬を兼ねながらブログを書いております。
      何かご意見がありましたら気兼ねなくコメントください(‘ω’)
      お待ちしております。
      サボ

      返信

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