2024年度 甲陽学院中学1日目過去問【算数】大問2解説

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円すいと直線アイがあります。

円すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求められます。

(1)
直線アイを軸として円すいを1回転させるとき、
円すいが通る部分の立体の体積と表面積を求めなさい。

(2)
円すいの側面(表面から底面を除いたもの)だけを考えます。
この側面を直線PAとPOに沿って半分に切り分けたときの、点Bを含む方の曲面をSとします。
直線アイを軸としてSを180度だけ回転させるとき、Sが通る部分の立体の体積と表面積を求めなさい。


@解説@
(1)

パップス・ギュルダンの定理;回転体の体積=断面積×重心の移動距離
(*くわしい原理は数Ⅲで習うようです)
断面積は△PAOの面積。その重心の移動距離は半径3cmの円周。
6×4÷2×3×2×3.14=72×3.14=226.08cm3

延長して大きな円錐をつくる。
底面は半径6cmの円。
小さい円錐と大きい円錐の相似比は5:10=1:2
真ん中の凹を上に持ち上げて凸にすると、大きな円錐の側面積に相当する
円錐の側面積=半径×母線×3.14
6×6×3.14+6×10×3.14
=96×3.14=301.44cm2
体積…226.08cm3、表面積…301.44cm2

(2)

お分かり頂けるであろうか(;^ω^)
円錐の側面積の半分を180度回転する。
右図は上からみた様子で最初は空洞、最後は中身がある。
最後の中身を最初の空洞に突っ込むと、体積は(1)で求めた立体の半分になる
226.08÷2=113.04cm3

底面積は半径6cmの半円。
中央部の凹の半周は先ほどのように持ち上げると、大きい円錐の側面積の半分に相当する。
ここまでは(1)で求めた立体の表面積の半分である。96×3.14÷2=48×3.14
さらに、中に突っ込んだ小さい円錐の側面積が足される。3×5×3.14=15×3.14
したがって、48×3.14+15×3.14=63×3.14=197.82cm2
体積…113.04cm3、表面積…197.82cm2
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