2024年度　甲陽学院中学１日目過去問【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
円すいと直線アイがあります。
円すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められます。

（１）
直線アイを軸として円すいを１回転させるとき、
円すいが通る部分の立体の体積と表面積を求めなさい。

（２）
円すいの側面（表面から底面を除いたもの）だけを考えます。
この側面を直線ＰＡとＰＯに沿って半分に切り分けたときの、点Ｂを含む方の曲面をＳとします。
直線アイを軸としてＳを180度だけ回転させるとき、Ｓが通る部分の立体の体積と表面積を求めなさい。

（１）

【パップス・ギュルダンの定理；回転体の体積＝断面積×重心の移動距離】
（＊くわしい原理は数Ⅲで習うようです）
断面積は△ＰＡＯの面積。その重心の移動距離は半径３ｃｍの円周。
６×４÷２×３×２×3.14＝72×3.14＝226.08ｃｍ³

延長して大きな円錐をつくる。
底面は半径６ｃｍの円。
小さい円錐と大きい円錐の相似比は５：10＝１：２
→真ん中の凹を上に持ち上げて凸にすると、大きな円錐の側面積に相当する。
【円錐の側面積＝半径×母線×3.14】
６×６×3.14＋６×10×3.14
＝96×3.14＝301.44ｃｍ²
体積…226.08ｃｍ³、表面積…301.44ｃｍ²

（２）

円錐の側面積の半分を180度回転する。
右図は上からみた様子で最初は空洞、最後は中身がある。
最後の中身を最初の空洞に突っ込むと、体積は（１）で求めた立体の半分になる。
226.08÷２＝113.04ｃｍ³

底面積は半径６ｃｍの半円。
中央部の凹の半周は先ほどのように持ち上げると、大きい円錐の側面積の半分に相当する。
ここまでは（１）で求めた立体の表面積の半分である。96×3.14÷２＝48×3.14
さらに、中に突っ込んだ小さい円錐の側面積が足される。３×５×3.14＝15×3.14
したがって、48×3.14＋15×3.14＝63×3.14＝197.82ｃｍ²
体積…113.04ｃｍ³、表面積…197.82ｃｍ²
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