2018年度 渋谷教育学園渋谷中学入試問題【算数】大問2解説

1円玉、5円玉、10円玉、50円玉、100円玉、500円玉の6種類のコインがそれぞれ3枚ずつあります。下の図のAからCの円の中にコインを1枚ずつ置いていきます。ただし、Aの円に置くコインの金額は、BとCの円に置くコインの金額の平均以下です。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
1円玉、5円玉、10円玉、50円玉の4種類のコインを1枚ずつ使えるとします。
その置き方は何通りありますか。

(2)
6種類のコインすべてを1枚ずつ使えるとします。
その置き方は何通りありますか。

(3)
6種類のコインすべてを3枚ずつ使えるとします。
その置き方は何通りありますか。


@解説@
(1)
条件は『Aに置くコインは、BとCのコインの金額の平均以下』。
Aのコインで場合分け使用しよう。

A=50円→最も高いので×
A=10円→(1、50)(5、50)+これらの逆で4通り
A=5円→(1、10)(1、50)(10、50)+逆で6通り
A=1円→(5、10)(5、50)(10、50)+逆で6通り
計16通り

(2)
同様にAで場合分け。
A≦(B+C)÷2
1・5・10・50・100・500の並びから、
条件に適合するパターンを調べる。

A=500円→×
A=100円→500円は必ず使う。500円と残り4枚+逆で8通り

A=50円
→500円と残り4枚+逆で8通り
→500円を使わない。100円と残り3枚+逆で6通り
計14通り

A=10円
→500円と残り4枚+逆で8通り
→500円を使わずに、100円と残り3枚+逆で6通り
→500円と100円を使わずに、50円と残り2枚+逆で4通り
計18通り

A=5円
8+6+4+2=20通り

A=1円
8+6+4+2=20通り
計80通り

@別解@
【1・5・10・50・100・500】の並びで、
A=1であれば、B・Cは何でもいい。
残りの5枚から2枚を選んで、B・Cに置く。
5×4=20通り。

A=5でも、BかCに10円以上が必ず置かれるので条件成立。
5×4=20通り

A=10円では、(B、C)=(1、5)(5、1)がダメ。
20-2=18通り

A=50円では、B・C双方に1・5・10円を置いてはダメ。
20-3×2=14通り

A=100円では、B・C双方に1~50円がダメ。
20-4×3=8通り

A=500円では、B・Cに何も置けない。
20+20+18+14+8=80通り

(3)
前問で6種類のコインを1枚ずつ使った。
→A・B・Cに置くコインはすべて異なる。
ということは、2枚だけ同種と3枚すべて同種の場合を足せばいい
◆2枚同種
A・Bが500円→Cには何も入らない→0通り
A・Cが500円→同様に0通り
B・Cが500円→1~100円→5通り
計5通り

A・Bが100円→Cは500円のみ→1通り
A・Cが100円→1通り
B・Cが100円→Aは500以外で4通り
計6通り

A・Bが50円→Cは500円と100円→2通り
A・Cが50円→2通り
B・Cが50円→Aは1~10円→3通り
計7通り

A・Bが10円→Cは50~500円→3通り
A・Cが10円→3通り
B・Cが10円→Aは1円か5円→2通り
計8通り

A・Bが5円→Cは10~500円→4通り
B・Cが5円→4通り
A・Cが5円→1円のみ→1通り
計9通り

A・Bが1円→Cは5~500円→5通り
B・Cが1円→5通り
A・Cが1円→なし
計10通り
5+6+7+8+9+10=45通り

◆3種同種
1~500それぞれで6通り

よって、80+45+6=131通り
*大問4まであるので、ここで時間を使いすぎると合否に関わります。
無理そうならば、後ろの小問は後回しがいいかも、、
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