2024年度 栄東中学・東大特待過去問【算数】大問2解説

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点Aから出た光が正六角形ABCDEFの辺に当たるたびに反射して、

どこかの頂点に到達するまで進みます。

たとえば、点Aから辺BCの真ん中の点に光を向けると、
1回反射して点Dまで進みます。

栄くん「ねえ、東さん。3回反射して点Bまで進む光を出すには
    辺BCのどこに向ければいいかな?」
東さん「正六角形をつけたせばわかるんじゃないかな」
栄くん「1回反射して点Dまで進む光の道すじを考えたければ、
    こういう正六角形を並べた図に1本の直線をかけばいいってことか!」

東さん「そう。これなら辺BCの真ん中の点に向ければいいってわかる」
栄くん「じゃあ、図をかいて考えるね!ありがとう東さん!」

(1)
Aから出て3回反射して点Bまで進む光の道すじを考えるときの1本の直線を図にかきなさい。

(2)
(1)のとき、光がはじめて辺BCに当たる点をGとします。
BG:GCをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。


@解説@
(1)
反射の問題は鏡の世界をつくる。

Aから1回反射でDに向かう。
光が反射するBCを鏡にして正六角形を対称移動させる
鏡の世界のDと直線で結ぶと、線対称により反射後の光を直進で表せる。
合同の三角形()から、光が反射する場所はBCの中点となる。

青線の右側は途中で
2回しか交わらない=2回しか反射しない。
赤線の左側は正六角形からはみ出してしまう。
2直線のあいだで3回交わりそうなこのあたりに見当をつける。


このように鏡を配置して正六角形を対称移動する。
途中の交点が3つであることを確認してAとBを結ぶ。

(2)

赤線の三角形が相似。
正六角形の1辺に着目して、BG:GC=1:4
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