2016年度 群馬県公立高校入試【数学】解説

基本問題が多い。後半は、相似図形の発見と面積比で乗り越える。
問題はコチラから→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①-3+8=5
②2(2x-y)-(x-y)
=4x-2y-x+y=3x-y
③√2ー6√3=3√3-6√3=-3√3

(2)(x+5)(x-3)=x2-2x-15

(3)(b+8)でくくる。
a(b+8)-(b+8)=(a+1)(b+8)

(4)解の公式。
x=(-1±√13)/2

(5)「おつりがもらえた」→代金<支払ったお金
3a+b<300

(6)600本
*48回やって当たりは2回。ハズレ:当たり=46:2=23:1
箱の中にはいっているクジも、この割合だろうと推定できる。
求める答えは、ハズレと当たりを含めた全体のくじなので、25×24/1=600本

(7)x=50°、y=70°
*x:円周角定理。
y:左側の細い角度をzとする。(円周角定理により、どちらもz°)
xが外角になる三角形より、外角定理からz=50-30=20°
円の内部の三角形より、外角定理からy=50+20=70°

(8)大人・・980円、子供・・540円
*連立。大人x円、子供y円とおき、
3x+2y=4020
x+3y=2600
ここまでで40点。

大問2(標本調査&関数)

(1)①A:0.06、B:0.03
*A:5÷90=0.055・・→0.06
B:5÷150=0.033・・→0.03

②度数の合計が異なる。
前問のように、A中学校とB中学校の35~40の階級の度数は共に5であるが、
相対度数にするとAはBの2倍である。
相対度数は全体からの割合なので、全体の度数の合計が異なる資料同士でも、
割合で示せば、分布の様子や傾向を比較することができる。

(2)①2
*y=1/2x2に放り込むだけ。y=1/2×(-2)2=2。
求めるのはAの座標ではなく、Aのy座標。

②y=-4/x
*反比例の一般式。基本。A座標から求める。

③27
*B(4、8)、C(4、-1)
BCを底辺とし、9×6×1/2=27cm2

大問3(整数)

(1)19
*図Ⅱからわかるように、aから+1でb、+8でc、+9でd
これさえわかれば、全問正解も間近。27-8=19。

(2)d=a+9
*上の通り・・。

(3)証明問題
*b=a+1、c=a+8、d=a+9とおいて、bc-adの文字式計算。
(a+1)(a+8)-a(a+9)
=a2+9a+8-a2-9a=8

大問4(平面図形)

(1)証明問題
*△ABHと△AGHにおいて、
∠ABH=∠AGH=90°(正方形の内角)
AB==AG(正方形の一辺)
AH(共通辺)
直角三角形で、斜辺と他の一辺が等しい→合同

(2)y=6x
*説明問題。
yは正方形から四角形ABHGを除いた部分の面積。
四角形ABHGは、前問から2つの合同な三角形で構成される
その三角形の底辺BHは6-xcm、高さABは6cm。これで方針が立った。
y=6×6-(6-x)×6×1/2×2=36-(36-6x)=6x

(3)①2√5cm
*GからCDに向かう垂線とCDとの交点をI、GからADに向う垂線とADとの交点をIとする
GI=2、四角形JGIDは長方形でJD=2。
AJ=4、AG=6(正方形の一辺)。△AGJで三平方
GJ=√(62)-√(42)=√20=2√5cm。

②18√5-18cm2
*(2)の式を利用。よって、(1)(2)がわからないとドミノ式でつぶれる。
求めたい部分は(2)の式yなので、xであるHCの長さがわかればいい。
GからHCに向かう垂線とHCとの交点をKとおく
△AGJと△GHKにおいて、
∠JAG=●とおき、∠AGJ=×とおく。
△AGJの内角から●+×+90=180→●+×=90
直線JK上で、∠AGJ=×、∠AGK=90だから、∠HGK=180-×-90=90-×=●
(△GHKの内角から、∠GHK=180-●-90=90-●=×)
よって、2角が等しい→△AGJ∽△GHK
GK:HK=AJ:GJ=4:2√5 (←①の答えから)
GK=6-2√5なので、
HK=(6-2√5)×2√5/4=3√5-5
四角形GKCIは長方形→KC=GI=2cm
HC=3√5-5+2=3√5-3
(2)の式に代入。6(3√5-3)=18√5-18

大問5(立体図形)

(1)公式解答参照
*ここで作図問題。結論からいえばBCの中点
容器の体積の半分→△ABCを底面とすると△ABPの面積は△ABCの面積の半分
つまり、△ABP=△APC→BP=PC→PはBCの中点となる。

(2)27/8cm
*△QBRの面積は、△ABCの面積の半分になる
AB=15、AQ=3、QB=12、BC=9。
CR=xとおくと、BR=9-x
面積は面積比で考える!すべて縦×横で面積を計算。
△QBRは12×(9-x)、また、△ABCの半分なので、
12×(9-x)=15×9÷2
24x=81
x=27/8、CR=27/8cm
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