2016年度　群馬県公立高校入試【数学】解説

基本問題が多い。後半は、相似図形の発見と面積比で乗り越える。
問題はコチラから→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）①－３＋８＝５
②２（２ｘ－ｙ）－（ｘ－ｙ）
＝４ｘ－２ｙ－ｘ＋ｙ＝３ｘ－ｙ
③√２ー６√３＝３√３－６√３＝－３√３

（２）（ｘ＋５）（ｘ－３）＝ｘ²－２ｘ－１５

（３）（ｂ＋８）でくくる。
ａ（ｂ＋８）－（ｂ＋８）＝（ａ＋１）（ｂ＋８）

（４）解の公式。
ｘ＝（－１±√１３）/２

（５）「おつりがもらえた」→代金＜支払ったお金
３ａ＋ｂ＜３００

（６）６００本
*４８回やって当たりは２回。ハズレ：当たり＝４６：２＝２３：１
箱の中にはいっているクジも、この割合だろうと推定できる。
求める答えは、ハズレと当たりを含めた全体のくじなので、２５×２４/１＝６００本

（７）ｘ＝５０°、ｙ＝７０°
*ｘ：円周角定理。
ｙ：左側の細い角度をｚとする。（円周角定理により、どちらもｚ°）
ｘが外角になる三角形より、外角定理からｚ＝５０－３０＝２０°
円の内部の三角形より、外角定理からｙ＝５０＋２０＝７０°

（８）大人・・９８０円、子供・・５４０円
*連立。大人ｘ円、子供ｙ円とおき、
３ｘ＋２ｙ＝４０２０
ｘ＋３ｙ＝２６００
ここまでで４０点。

大問２（標本調査＆関数）

（１）①Ａ：０．０６、Ｂ：０．０３
*Ａ：５÷９０＝０．０５５・・→０．０６
Ｂ：５÷１５０＝０．０３３・・→０．０３

②度数の合計が異なる。
前問のように、Ａ中学校とＢ中学校の３５～４０の階級の度数は共に５であるが、
相対度数にするとＡはＢの２倍である。
相対度数は全体からの割合なので、全体の度数の合計が異なる資料同士でも、
割合で示せば、分布の様子や傾向を比較することができる。

（２）①２
*ｙ＝１/２ｘ²に放り込むだけ。ｙ＝１/２×(－２)²＝２。
求めるのはＡの座標ではなく、Ａのｙ座標。

②ｙ＝－４/ｘ
*反比例の一般式。基本。Ａ座標から求める。

③２７
*Ｂ（４、８）、Ｃ（４、－１）
ＢＣを底辺とし、９×６×１/２＝２７ｃｍ²

大問３（整数）

（１）１９
*図Ⅱからわかるように、ａから＋１でｂ、＋８でｃ、＋９でｄ。
これさえわかれば、全問正解も間近。２７－８＝１９。

（２）ｄ＝ａ＋９
*上の通り。

（３）証明問題
*ｂ＝ａ＋１、ｃ＝ａ＋８、ｄ＝ａ＋９とおいて、ｂｃ－ａｄの文字式計算。
（ａ＋１）（ａ＋８）－ａ（ａ＋９）
＝ａ²＋９ａ＋８－ａ²－９ａ＝８

大問４（平面図形）

（１）証明問題
*△ＡＢＨと△ＡＧＨにおいて、
∠ＡＢＨ＝∠ＡＧＨ＝９０°（正方形の内角）
ＡＢ＝＝ＡＧ（正方形の一辺）
ＡＨ（共通辺）
直角三角形で、斜辺と他の一辺が等しい→合同

（２）ｙ＝６ｘ
*説明問題。
ｙは正方形から四角形ＡＢＨＧを除いた部分の面積。
四角形ＡＢＨＧは、前問から２つの合同な三角形で構成される。
その三角形の底辺ＢＨは６－ｘｃｍ、高さＡＢは６ｃｍ。これで方針が立った。
ｙ＝６×６－（６－ｘ）×６×１/２×２＝３６－（３６－６ｘ）＝６ｘ

（３）①２√５ｃｍ
*ＧからＣＤに向かう垂線とＣＤとの交点をＩ、ＧからＡＤに向う垂線とＡＤとの交点をＩとする。
ＧＩ＝２、四角形ＪＧＩＤは長方形でＪＤ＝２。
ＡＪ＝４、ＡＧ＝６（正方形の一辺）。△ＡＧＪで三平方。
ＧＪ＝√（６²）-√（４²）＝√２０＝２√５ｃｍ。

②１８√５－１８ｃｍ²
*（２）の式を利用。よって、（１）（２）がわからないとドミノ式でつぶれる。
求めたい部分は（２）の式ｙなので、ｘであるＨＣの長さがわかればいい。
ＧからＨＣに向かう垂線とＨＣとの交点をＫとおく。
△ＡＧＪと△ＧＨＫにおいて、
∠ＪＡＧ＝●とおき、∠ＡＧＪ＝×とおく。
△ＡＧＪの内角から●＋×＋９０＝１８０→●＋×＝９０
直線ＪＫ上で、∠ＡＧＪ＝×、∠ＡＧＫ＝９０だから、∠ＨＧＫ＝１８０－×－９０＝９０－×＝●
（△ＧＨＫの内角から、∠ＧＨＫ＝１８０－●－９０＝９０－●＝×）
よって、２角が等しい→△ＡＧＪ∽△ＧＨＫ
ＧＫ：ＨＫ＝ＡＪ：ＧＪ＝４：２√５　（←①の答えから）
ＧＫ＝６－２√５なので、
ＨＫ＝（６－２√５）×２√５/４＝３√５－５
四角形ＧＫＣＩは長方形→ＫＣ＝ＧＩ＝２ｃｍ
ＨＣ＝３√５－５＋２＝３√５－３
（２）の式に代入。６（３√５－３）＝１８√５－１８

大問５（空間図形）

（１）公式解答参照
*ここで作図問題。結論からいえばＢＣの中点。
容器の体積の半分→△ＡＢＣを底面とすると△ＡＢＰの面積は△ＡＢＣの面積の半分
つまり、△ＡＢＰ＝△ＡＰＣ→ＢＰ＝ＰＣ→ＰはＢＣの中点となる。

（２）２７/８cm
*△ＱＢＲの面積は、△ＡＢＣの面積の半分になる。
ＡＢ＝１５、ＡＱ＝３、ＱＢ＝１２、ＢＣ＝９。
ＣＲ＝ｘとおくと、ＢＲ＝９－ｘ。
面積は面積比で考える！すべて縦×横で面積を計算。
△ＱＢＲは１２×（９－ｘ）、また、△ＡＢＣの半分なので、
１２×（９－ｘ）＝１５×９÷２
２４ｘ＝８１
ｘ＝２７/８、ＣＲ＝２７/８ｃｍ
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