2014年度 千葉県公立高校入試【後期】数学解説

問題はコチラ→リセマムさん

大問1(計算)

(1)-3+8=5

(2)7-(-6)2÷9
=7-36÷9
=7-4
=3

(3)6(1/3a-1/2b)-2a+b
=2a-3b-2a+b
=-2b

(4)√8×-√5
=-√40
=-2√10

(5)x=-2のとき、x2+10/xの値を求めなさい。
素直に代入。
(-2)2+10÷(-2)=4-5=-1

(6)x2-x-12を因数分解しなさい。
(x-4)(x+3)

*普段より簡単な問いなので、オールクリアを目指したい。

大問2(小問集合)

(1)エ
*絶対値の定義を知っていれば容易。
-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4。
絶対値とは、数直線上で原点0からの距離
整数なので0や負の数を含む。

(2)
定価の4割引ということは、定価の6割で購入して600円支払った。
よって、600×10/6=1000

(3)
ン?と一瞬、固まる。
いびつな図形のように思えるが、立体図形を頭の中で組み立ててみると、底辺が真ん中の台形、高さが3cmの四角錐とわかる。台形の上底と下底を知りたい。
一番上の直角三角形は3:4:5で上底は4。
下底を求めたい。√13があるが意味無し。
なぜか1つだけ45°という角度が示されていることに注目!

下の点をA、そこから上に垂線を引き交点をB、右端をCとおく。
△ABCは直角二等辺三角形
よって、2=AB(●)=BC(●)
○=4-●=4-2=2・・台形の下底
よって、(4+2)×2×1/2×3×1/3=6cm3

(4)
どの辺が等しくなるか、3パターンある。
@AP=AB@
試しに書いてみる。サイコロの目は1~6なので、
Pは(1、1)~(6、6)のどれか。よって、なし。
@AB=BP@
同様になし。

@AB=AP@
これしかない。
つまり、点Pが点Aと点Bから等しい距離にある。
等しい距離といえば垂直二等分線。

ABの中点Mの座標は、(1+7)÷2、(8+2)÷2=5 M(4,5)
ABの傾きは、7右いって7下がる→傾き=-1
ということは、垂直二等分線の傾き=1 *直角に交わる線分の傾きの積は-1

M(4,5)で傾きが1。数値を1個ずつずらしていけばOK.
(大、小)=(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)
ただし、M(4,5)はMが直線AB上にくるので三角形にならない
だから残りの4通りが答え。 確率は4/36=1/9

(5)
前期の作図と比べれば楽勝。
ただ、ひし形の性質を思い出して最初の突破口を見出せるかが正否の分かれ目。

ひし形の対角線は各々の角を2等分する。
ということは、点Cの反対側にくる点Pは、点Cの角の2等分線上にある。

初期状態。

∠Cの二等分線の構え。

これだけでPがでてしまう。
ひし形の対角線は各々の中点で交わり、かつ直角に交わるので、
PCの垂直二等分線をひけばQ、Rもでて終わり。

@別解@

ひし形は平行四辺形の性質を併せ持つ
そこでPを通るBCに平行な線分をひきたい。
錯角を利用して∠BCPを∠Pに移す。
∠C→∠Pへひょこ、★から長さを頂いて上の★からひょこ。
R完成。
ひし形は全ての辺の長さが等しいので、CRをとって辺BCに移せばQ。
写真では平行四辺形になってしまいましたが・・・正確にやればひし形になります。



大問3(関数)

(1)
仮定から、Aのx座標は4とわかっているので、y=2x-6にあてはめる。
y=2×4-6=2  A(4,2)
これをy=ax2にあてはめ。
2=42a
16a=2
a=1/8

(2)
グラフ上での面積比を求める問題。
複雑で面倒くさいが地道に求める。

仮定からBのx座標が-2。 (1)よりy=1/8x2に代入。
B(-2,1/2)

BDはOAと平行。平行は傾きが一緒。
OAの傾きは、右に4いって上に2あがるので1/2。

BDの直線の式を求める。
1/2=-2×1/2+b
b=3/2
BD:y=1/2x+3/2
これとy=2x-6との交点を求めてD(5、4)
いろいろやり方があると思うが、ここでは王道の等積変形を用いる。
四角形OADCを、y軸に接する三角形に変形させる。
ODに線分を引き、それと平行で点Aを通る直線をひく。
四角形OADCの面積=三角形A’DCの面積

ODの傾きは右5上4→傾き4/5
点A(4,2)だから、
AA’:2=4×4/5+b
b=-6/5
AA’:y=4/5x-6/5
A’の座標は(0、-6/5)

△OCBと△A’CDには共通辺がないので、底辺×高さが面積比になる。
△OCB:△A’CD
=3/2×2:(3/2+6/5)×5
=3:27/2
=6:27
=2:9
*処理がめんどいので、後回しにしても可。

@別解@

四角形BOADは台形。
三角形OCBと四角形OADCの面積比は、底辺の比からBC:CD+OAとなる。
三平方の定理から、BC=√4+√1=√5
CD=√25+√(25/4)=5/2 √5
OA=√16+√4=2√5
BC:CD+OA
=√5:5/2 √5+2√5
=√5:9/2 √5 ←√5でわる。
=1:9/2
=2:9

大問4(平面図形)

(1)
(a)…△OACとあるので、それを凝視。OAは半径。よってOC。 a…ウ
(b)…【2】【3】より、△OACは直角二等辺三角形なので、∠OCA=45° b…エ

(c)
前期と同様、昨年と比べれば簡単。
辺の情報が少ないので、角度で攻める。
【1】から共通角があげられているので、残りの2つの角に的をしぼる

誘導のところで∠OCA=45°とわかったので、△FOEの中で45°になる角を探す

図形が円に囲まれている→円周角定理の活用
弧ACの円周角∠ABC=45°

△BDEにおいて、残りの角である∠DEF=45°
以上から、2角が等しくなるので△FOE∽△FAC

以下、模範解答。
~~引用はじめ~~
△BDEにおいて、円周角の定理より、
∠ABC=1/2∠AOC=45°   ・・・【5】
仮定より、   ∠BDE=90°   ・・・【6】
【5】、【6】より、  ∠DEB=45° ・・・【7】
【4】、【7】より、  ∠FEO=∠FCA  ・・・【8】
【1】、【8】より、2角が、それぞれ等しいので、
△FOE∽△FAC

~~引用おわり~~

(2)やや難問

初期状態。
△FOE内で底辺×高さ÷2をするより、
底辺と高さが既にわかっている三角形から相似で求めたほうが良さげ。
そこで、前問の△FOE∽△FACを利用する。
△AFO内で三平方→FA=√5

対応する辺がFO:FAとなり、△FOE:△FAC=FO:FA= 1:√5

FCが3cm、先ほどの相似比をつかってEFの長さを出す。
3×1/√5=3√5/5

△AFOの面積は、1×2÷2=1cm2
同じ高さの三角形は底辺の長さの比が面積比になるので、

△AFO:△FOE=√5:3/5 √5
よって、△FOE=1×(3√5/√5) / √5=3/5cm2
上の写真の右のように、分子・分母を√5倍すれば分母を払える。



大問5(規則)

(1)

図3を見れば明らか。
4枚重なっている部分は、ど真ん中の小さな正方形。よって1cm2

(2)
ア・・図2を見れば明らか。4×4-3×3=7cm2
”それぞれ”なので14cm2にしないこと!

イ&ウ・・図3を駆使すれば、なんとかなる問題。
イ・・7cm2     ウ・・1+1=2cm2

エ・・規則性を見つける。実際に書いて調べてみる。
図3で下調べ。4枚重なったときに重ならないのは↑斜線の部分。
ここから右下にどんどん紙を貼り付けていく。
最初と最後の7は変わらない
1枚貼り付けると上下の端っこの1cm2がペアで増えていく。
4枚重ねたときに1cm2の正方形のペアが2組。
つまり、n枚重ねたときは(n-2)個の正方形のペアが増える。
5枚重ねたときも書いてみよう。正方形のペアが3組できる。

よって、7+7+(n-2)×2=14+2n-4=2n+10

(3)
小学4年のSAPIX生が類題を解いていたような…中学受験にも出そうな問題。
根気よく調べる。

7枚重ねてみた。2枚重なるところは18cm2
最初と最後は5で固定。正方形のペアは上下4組。
つまり、(7-3)個の正方形のペアができる
逆にいえば、正方形のペア数+3=全体の枚数
試しにやってみると・・
正方形1枚:0cm2 2枚:0cm2 3枚:10cm2
4枚:12cm2   5枚:14cm2  ・・・

3枚目から10cm2で、その後2cm2ずつ増えていますね。
文字式で書くと、n枚目の紙が2枚重なっている部分の面積の合計は、
5×2+(n-3)×2=2n+4

よって、2n+4=34
2n=30  n=15   15枚
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