2020年度 秋田県公立高校入試問題【数学】解説

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大問1(小問集合)

〔15問の中から指示された8問を解く〕
(1)
1+(-0.2)×2
=1-0.4=0.6

(2)
有理化。
6/√2 ←分母分子に√2をかける。
=6√2/2
=3√2

(3)
3(a-2b)-5(3a-b)
=3a-6b-15a+5b
=-12a-b
=-12×(1/2)-3
=-9

(4)
不等式。
3a+2b≧30

(5)
(2x+4)/3=4 ←両辺を3倍して左辺の分母を払う。
2x+4=12
2x=8
x=4

(6)
2x-3y=-5 …①
x=-5y+4 …②
②を①に代入。
2(-5y+4)-3y=-5
-13y=-13
y=1
②に代入。
x=-5×1+4=-1
x=-1、y=1

(7)
『解の1つが-1』→xに-1を代入
(-1)2-2×(-1)a+3=0
2a=-4
a=-2

次に、a=-2を放り込む。
2+4x+3
=(x+1)(x+3)=0
したがって、もう1つの解はx=-3

(8)
往復の速さ=〔往復の距離〕÷〔往復の時間〕
往復の距離=2a
往復の時間=行きの時間+帰りの時間
=a/60+a/90=1/36a
往復の速さは、2a÷1/36a=72

(9)
P⇒Q(PならばQが成立する)の命題のはQ⇒P(QならばPが成立する)。
(ちなみに、はPでない⇒Qでない、対偶はQでない⇒Pでない)
P⇒Qが真であるとき、対偶は常に真であるが、逆と裏は必ずしも真ではない(偽)。
ただし、
命題の中身によっては逆や裏も真となる場合がある

アの逆:すべての内角が等しい三角形⇒正三角形
 1つの内角は180÷3=60°、これが3つなので正三角形といえる〇
イの逆:対角線がそれぞれの中点で交わる四角形⇒長方形
 正方形を特別な長方形と捉えても、菱形や平行四辺形がある×
ウの逆:x>4⇒x≧5
 4<x<5は当てはまらず×
エの逆:x2=1⇒x=1
 x=-1がある×

(10)
地道にあてはめていく戦法が使えない(;´Д`)
整数になる→根号が外れる→根号の中が平方数
つまり、120+a2の値が平方数になればいい
この平方数をb2とする。
120+a2=b2(b2の方がa2より値が大きいのでa<b)
2-a2
=(b+a)(b-a)=120
積が120となる(b+a)と(b-a)の組み合わせをピックアップ
120×1、60×2、40×3、30×4、24×5、20×6、15×8、12×10
120×1の場合、b+a=120、b-a=1
和が偶数ということは偶数+偶数か奇数+奇数となるところ、いずれも差は偶数になる。
しかし、差の1が奇数なので、aは自然数とならず不適。
同様に、120×1のように偶数と奇数のパターンは外れることになる。
残りは60×2、30×4、20×6、12×10の4通り。
偶数と偶数であれば和も差も偶数となるので、aは自然数となる。
よって、aは4個。
*試しに計算すると、、
【60×2】
b+a=60、b-a=2
b=31、a=29
【30×4】
b=17、a=13
【20×6】
b=13、a=7
【12×10】
b=11、a=1
a=1、7、13、29の4個。

(11)

同位角で75°を上へ。
外角定理より、75+54=129°
対頂角でx=129°

(12)

対頂角で移動すると、すべて外角の位置にくる。
多角形の外角の和は360°
y=360-(55+115+65+79)
=360-314=46°
x=180-46=134°

(13)
ABとネジレの位置にある辺の本数を求める。
けっこうシビア(;´・ω・)

ジレの位置→延長しても交わらない、かつ平行ではない
CDとEFは延長するとABと交わる!
ネジレは赤線の8本。

(14)
高さは三平方の定理で算出。
√(52-22)=√21cm
2×2×π×√21÷3=4√21/3cm3

(15)

底辺の比→△BPQ:△BCD=①:④
高さの比→RB:AB=□4:□5
体積比→R-BPQ:A-BCD
=①×□4:④×□5=1:5
5倍


大問2(小問集合2)

(1)
y=3/x→反比例
xが増えたらyは減る。
これはaが正でも負でも同じことがいえる。
イ・エ

(2)①
過程も記述する。
bはQのy座標。先にグラフの式を求める。
y=ax2にP(6、9)を代入。
9=36a
a=1/

y=1/4x2にx=-2を代入。
y=1/4×(-2)2=1
b=1


a<0なので、上に凸のグラフ。
グラフが原点を通過するかわからないので、
まずy=-8のとき、xの値を考える
-8=-1/2x2
x=±4
x≦2であるから、x=-4
x=-4のとき、最小値y=-8
c=-4

xの変域が-4≦x≦2ということは原点を通過する!
x=0のとき、最大値y=0
d=0

(3)
Oを回転の中心としてPを時計回りに45°回転させる。
①Oを通る直線ℓに垂直な線分を作図。
②90°の二等分線の作図。
③OPの長さをとり、二等分線上に移してQ。

(4)

DE=②、EC=①とする。AB=③
△ABF∽△EDFから、BF:DF=3:2
平行四辺形ABCD→△BCD→△FCD→△FED
1×1/2×2/5×2/3=2/15倍

大問3(数量変化)

(1)①
数量は4000mLで強運転は4時間で空になるから、
4000÷4=1000mL



弱に切り替えて4時間で空になったから、6時間後に0となる。
計算は不要。

(2)①
やり方が少し独特なので、グラフの説明からいきます。

左は4000mLから始めた中運転。すると、5時間で終わってしまう。
真ん中は7時間で終了する予定の弱運転。はじめは4000mLではない。
右は2つのグラフを重ねたもの。といけば中運転から弱運転に切り替えて7時間で終わる。
弱運転に切り替えた時間は、直線PQと直線RSの交点のx座標(b)


PQの式…変化の割合は-4000÷5=-800
切片が4000なので、y=-800x+4000(c)

RSの式…(5、1000)→(7、0)から変化の割合は-1000÷(7-5)=-500
0=-500×7+b
b=3500
y=-500x+3500(d)

2つの直線の交点座標を求める、
-800x+4000=-500x+3500
300x=500
x=5/3時間=1時間40分
1(e)40(f)

@別解@

本問は穴埋めなので、いやがおうでも方程式を経由しなければならないが、
答えを出すだけならば相似図形の方が圧倒的に早い。
左のグラフで、△SRQ∽△TRUから、TU=1000×7/2=3500
右のグラフで、△PVT∽△QVSから、
PV:QV
=PT:QS=500:1000=1:2
Vのx座標は0~5時間を1:2に内分する。
5時間×1/3=5/3時間=1時間40分

大問4(標本調査・確率)

(1)
最頻値(モード)…最もあらわれている値。
解答は階級値で答えること!
Aのモードは14.2秒(ア)
Bのモードは14.4秒(イ)
速いのはA(ウ)

(2)①
4の倍数なので、どちらかに4がでれば残りは何でもいい。
(1・4)(2・4)(3・4)(5・4)(6・4)の逆を含めて10通り
+(4・4)=11通り。
残りは4以外の偶数である2と6を使う。
(2・6)の2通り+(2・2)(6・6)の2通り=4通り
計15通りで、15/36=5/12


素数なので1個ずつ試していくしかない…。
aは十の位、bは一の位。
(a、b)=(1、1)(1、3)(2、3)(3、1)
(4、1)(4、3)(5、3)(6、1)の計8通り。
8/36=2/9


大問5(平面図形)

〔次のⅠ・Ⅱから指示された問題を解く〕
Ⅰ(1)

∠AOGを∠AOEで捉える。
中心角は弧の長さに比例するので、
∠AOG=180×3/4=135°

(2)
△FABが二等辺三角形であることの証明。

弧AC=弧BE
等しい弧に対する円周角は等しいので∠ABC=∠BAF
△FABは2角が等しいから二等辺三角形。

(3)

DはOの真上にあり、CはDA、EはDBの中点にある。
CとEは直径ABから同じ高さにある→CE//AB
等積変形で△ACEを△OCEに変える。
∠COE=180×2/4=90°
半径と合わせると、△OCEは直角二等辺三角形。
4×4÷2=8cm2

Ⅱ(1)
△HOBが二等辺三角形であることの証明。

弧GBの円周角である∠GOB=×とする。
中心角の大きさは弧の長さに比例するので、
弧ADの中心角である∠DOA=××
その円周角∠DBA=×
△HOBは2角が等しくなり、二等辺三角形。

(2)

∠GOB=180÷6=30°
二等辺三角形HOBの頂角Hから底辺に向けて垂線、その足をIとすると、
△OHIの内角は30°-60°-90°の直角三角形。
OH=3×2/√3=2√3
GH=6-2√3cm

(3)
形が複雑なので、形を変えられないか考える。
ポイントは白い部分を等積変形

EはOの真上にあり。DとFは直径ABからの高さが等しい。
DF//ABより、△ADFを△ODFに変形。
すると、白い部分が扇形ODFに変わる。

下の白は、扇形OGBとそれ以外に分け、
CG//ABから△AGOを△ACOに変形する。

まとめると、白い部分がこのような形になる。
求積すべき範囲は青いところ。
6×6×π×1/2×2/6=6πcm2

@余談@

2017年度の東大寺学園中学に類題があったようです( ´д)ヒソ(´д`)ヒソ(д` )
難しい問題ですが、小学生でも発想力を駆使してチャレンジできますね!

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