2015年度　栃木県公立高校入試【数学】解説

栃木の数学も解いてみました。
問題数が多く、数個難問もありました。良問なので生徒さんにお勧めです。
問題はコチラから→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）　99.5％
（－２）×４＝－８

（２）　89.1％
５ａ－１＋２（ａ＋３）
＝５ａ－１＋２ａ＋６
＝７ａ＋５

（３）　93.9％
√２４＋５√６
＝２√６＋５√６＝７√６

（４）　89.5％
８ｘ⁴ｙ³÷４ｘｙ²＝２ｘ³ｙ

（５）　82.9％
（ｘ²－４）＝（ｘ＋２）（ｘ－２）

（６）　74.9%
２ｘ－５ｙ＝７
２ｘ＝５ｙ＋７
ｘ＝（５ｙ＋７）/２

（７）　68.3％
比例の一般式はｙ＝ａｘ
傾きは４/３じゃないよ！　傾き＝（ｙの増加分）/（ｘの増加分）
ｙ＝３/４ａ

（８）角度　88.0％
８１°を錯角で下におろし、ｘを対頂角で下にうつす。
すると外角定理から８１－４５＝３６°

（９）弧の長さ　62.5％
９×２×Π×60/360=３Πｃｍ

（10）不等式　16.2％！
『10本以上余った』ので、残った鉛筆が10本以上。
ａ－４ｂ≧１０

（11）角度　81.1％
２つの二等辺三角形△ＡＢＯと△ＡＣＯで外角定理。
（１７＋３１）×２＝９６°

（12）２次方程式　39.0％
展開しない。
（ｘ－１）²＝３
ｘ－１＝±√３　　ｘ＝１±√３

（13）モードの階級値　56.6％
階級値は、階級の幅の真ん中の値。
8.0と9.0の平均は８．５。

（14）変域　37.4％
実際にグラフを書いた方が確実。
傾きがマイナスなので上に凸の放物線。原点は通らない。
－９≦ｙ≦－１
ここまでで２８点。

大問２（小問集合２）

（１）作図　47.0％（部分正答含む66.2％）
半直線ＡＯをひく。Ｏを通るＡＯとの垂線をひく。
ＯＡの長さをとって時計回りにひょこ。

（２）確率　39.9％
２つのパターンで場合わけ。
＠異なる目で大きいのが４＠
（１．４）（２．４）（３．４）&これらの逆
＠同じ目で合計が４＠（２．２）
計７通り。よって、確率は７/３６。

（３）関数　46.6％
ＡＢの長さは４。高さ４ａ。　４×４ａ×１/２＝８ａ

大問３（小問集合３）

記述式。
（１）　41.9％（部分正答含む48.8％）
３割引きは、定価の７割。一次方程式をつくる。

（２）　28.1％！（部分正答含む53.9％）
連立。人数と冊数で２つの等式をつくる。
人数は合計３５人。冊数は、平均値３冊から３×３５＝１０５冊。他の合計を除外する。

大問４（平面図形）

（１）　25.3％！（部分正答含む62.4％）
辺の情報が乏しいので角度から攻める。
ＡＣが直径だから、円周角定理で∠ＡＤＣ＝９０°
仮定から∠ＡＥＢ＝９０°　　よって、∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ・・①
弧ＡＤに対する円周角から、∠ＤＣＡ＝ＤＢＡ　・・・②
①、②から２角が等しいので相似。それほど難しくはない。

（２）　37.6％
【１】△ＢＤＡと△ＢＤＣで三平方の定理。
ＢＡ²－ＡＤ²＝ＢＤ²＝ＢＣ²－ＣＤ²
３６－４＝ＢＣ²－１６
ＢＣ²＝４８　　ＢＣ＞０より、ＢＣ＝４√３ｃｍ

（２）　11.6％！
∠ＤＣＥ＝●とおくと、△ＤＣＥ内で角ＣＤＥ＝１８０－９０－●＝９０－●
∠ＢＤＣ＝９０°なので、∠ＢＤＥ＝９０－（９０－●）＝●　つまり、∠ＤＣＥ＝∠ＢＤＥ
∠ＤＣＥは、△ＡＢＣの底角なので、（１８０－ａ）÷２＝（９０－ａ/２）°
よって、∠ＢＤＥ＝（９０－ａ/２）°

大問５（数量変化）

立体図形がからみ難しい。
（１）　43.1％
２秒後、点ＰはＡＢ上にあり、点ＱはＡＤ上にある。
よって、求める図形は、底面積が６ｃｍ×４ｃｍの三角形で高さが１２ｃｍの三角錐である。
６×４×１/２×１２×１/３＝４８ｃｍ³

（２）　30.0％！（部分正答含む41.9％）
グラフを利用。
（３．１０８）と（４．１４４）が通る直線の式を求める。
右に１いって３６あがる。→傾きａ＝３６　１４４＝４ａ+ｂに代入。ｂ＝０、つまり比例。
よって、ｙ＝３６ｘ

（３）　26.7％！
ここらへんから苦しくなってくる。
Ｐは３秒後にＢにつき、上に向かう。Ｑは４秒後にＤにつく。
３秒後から４秒後の三角錐ＡＥＰＱの体積の変化は、グラフから３６ｃｍ³増える。
仮にＰがＢで停止しているとする。
Ｑのみ２ｃｍ動き、そのとき三角錐ＡＥＰＱの増加量は、
２×９×１/２×１２×１/３＝３６ｃｍ³
ちょうど、Ｐが３→４秒後にＢから３ｃｍ動いたときの三角錐ＡＥＰＱの体積と等しくなることがわかる。ここから、ＰやＱが上っていく間は体積が変わらないのではないかと推測できる。→イ

（４）　1.7％!!（部分正答含む13.5％）
直方体の体積の１/３２は、８×９×１２×１/３２=２７ｃｍ³
体積が急激に増えていく０～３秒後と、
ＰがＦからＥに向かって体積が減っていく７～１０秒後が怪しい。

グラフから０≦ｘ≦３の放物線の式を求める。
（３．１０８）を通過するので、１０８＝９ａ　ａ＝１２　よって、ｙ＝１２ｘ²
ｙ＝27を代入。　２７＝１２ｘ²　ｘ²＝１２/２７＝４/９　ｘ＞０よりｘ＝２/３。

７秒後にＰはＦに到着。ＱはＤＨ上にいるが、前問より上に上がっている間は体積に変化なし。
しかし、７秒を過ぎるとＰはＦ→Ｅに向かい体積が減少。
１０秒後の三角錐ＡＥＰＱの体積は０ｃｍ³となる。

イのグラフの続きをかくと、
7秒後の１４４ｃｍ³から１０秒後には０ｃｍ³まで一直線に右下がりとなる。
そこで、７≦ｘ≦１０を考える。
３秒間で１４４ｃｍ³減少するので、三角錐ＡＥＰＱが２７ｃｍ³となるには、
１０秒後から３×２７/１４４＝９/１６秒手前。
１０－９/１６＝１５１/１６秒後。　　答えは、２/３秒後と１５１/１６秒後。

大問６（規則）

千葉前期大問５を彷彿（ほうふつ）させる問題。もっといいやり方あるかも。
（１）【１】　47.7％
実際に書いて調べてしまってＯＫ。図２の下に１列足せば完成。
ｎはＡＣ(対角線)と1ｃｍ四方の正方形の辺がぶつかる交点の個数。
５個になるはず。
規則として考えるならば、横線の数＋縦線の数となる。
ただし、図２図３の通り、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上の点は含まないので、
横線の数は（ａ－１）本、縦線の数は（ｂ－１）本となる。
また、図２のように、格子点で交わると点の数が重複するので１個、数が減る。
３と４は１以外に共通の約数をもたないので格子点がない。
ｎ＝（３－１）＋（４－１）＝２＋３＝５となる。

【２】　55.1％
いろんな求め方があると思う。
数が少ないので調べてしまおう。
計算で求めるとき、数直線０～４を３等分すると、４/３＝１と１/３ずつわけられる。
格子点以外の場所で一段下がると、
その交点と接触する上下２つの正方形に対角線が通ることになる。
つまり、１段目は左から１個目、２個目。２段目は２個目、３個目。
３段目は３個目、４個目を通過する。
したがって、計６個。

（２）　1.8％!!（部分正答含む4.9％）
記述式。やや難。
長方形の縦の長さはａ、横の長さ（ｂ）は３ａ。
すべての正方形の数は、３ａ×ａ＝３ａ²個
問題は、対角線ＡＣが通る正方形の数である。
ｂがａの倍数になる場合、ＡＣが上段から下段へ下がるとき、すべて格子点を通る。
ｂがａの３倍ならば、右に３いくと下に１下がり、ちょうど格子点の場所で下段に下がる。
実際に描いてみよう。縦２ｃｍ横６ｃｍ。縦３ｃｍ横９ｃｍ・・。
すべて対角線は格子点を通過するはず。
すると、対角線を通過する正方形の個数は、横に並んでいる正方形の個数分になる。
格子点以外の場所だと、その上下に重複していまうが、
すべてが格子点であれば単純に横に並ぶ正方形の数となる。
よって、ＡＣを通過する正方形の数は、横の長さである３ａ個となる。
通過しない正方形は１６８個なので、
３ａ²－３ａ＝１６８
３ａ²－３ａ－１６８＝０
ａ²－ａ－５６＝０　　←すべてを３で割る。
（ａ－８）（ａ＋７）＝０　　ａ＞０より、ａ＝８

（３）　0.0％!!!（部分正答含む1.4％）
（１）【１】の通り、
ｎ＝（ａ－１）＋（ｂ－１）－（格子点の数）である。
ａ＝９、ｎ＝４４なので。
８＋（ｂ－１）－（格子点の数）＝４４
（ｂ－１）－（格子点の数)＝３６
格子点の数は一体どう求めるのか？？
縦９、横１～９の長方形を書いて格子点の数を調べる。
すると格子点の数は０、２、８個しかでてこない。
コツは９の約数である１・３・９と、その（１以外の）倍数が怪しいとにらむ。
９と１以外で約数をもたない数は格子点がでてこない。

＠格子点０個＠
（ｂ－１）－０＝３６　　ｂ＝３７

＠格子点２個＠
（ｂ－１）－２＝３６　　ｂ＝３９

＠格子点８個＠
（ｂ－１）－８＝３６　　ｂ＝４５
よって、ｂ＝３７、３９、４５
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