2015年度 栃木県公立高校入試【数学】解説

栃木の数学も解いてみました。
問題数が多く、数個、難問もありました。
良問なので、生徒さんにお勧めです。
問題はコチラから→リセマムさん

大問1(小問集合)

(1) 99.5%
(-2)×4=-8

(2) 89.1%
5a-1+2(a+3)
=5a-1+2a+6
=7a+5

(3) 93.9%
√24+5√6
=2√6+5√6=7√6

(4) 89.5%
8x43÷4xy2=2x3

(5) 82.9%
(x2-4)=(x+2)(x-2)

(6) 74.9%
2x-5y=7
2x=5y+7
x=(5y+7)/2

(7) 68.3%
比例の一般式はy=ax
傾きは4/3じゃないですよ! 傾き=(yの増加分)/(xの増加分)
y=3/4a

(8)角度 88.0%
81°を錯角で下におろし、xを対頂角で下にうつす。
すると外角定理から81-45=36°

(9)弧の長さ 62.5%
9×2×Π×60/360=3Πcm

(10)不等式 16.2%!
『10本以上余った』ので、残った鉛筆が10本以上。
a-4b≧10

(11)角度 81.1%
2つの二等辺三角形△ABOと△ACOで外角定理。
(17+31)×2=96°

(12)2次方程式 39.0%
展開しない。
(x-1)2=3
x-1=±√3  x=1±√3

(13)モードの階級値 56.6%
階級値は、階級の幅の真ん中の値
8.0と9.0の平均は8.5。

(14)変域 37.4%
実際にグラフを書いた方が確実。
傾きがマイナスなので上に凸の放物線。原点は通らない。
-9≦y≦-1
ここまでで28点!

大問2(小問集合2)

(1)作図 47.0%(部分正答含む66.2%)
半直線AOをひく。Oを通るAOとの垂線をひく。
OAの長さをとって時計回りにひょこ。

(2)確率 39.9%
2つのパターンで場合わけ。
@異なる目で大きいのが4@
(1.4)(2.4)(3.4)&これらの逆
@同じ目で合計が4@(2.2)
計7通り。よって、確率は7/36。

(3)関数 46.6%
ABの長さは4。高さ4a。 4×4a×1/2=8a

大問3(小問集合3)

記述式。
(1) 41.9%(部分正答含む48.8%)
3割引きは、定価の7割。一次方程式をつくる。

(2) 28.1%!(部分正答含む53.9%)
連立。人数と冊数で2つの等式をつくる。
人数は合計35人。冊数は、平均値3冊から3×35=105冊。他の合計を除外する。

大問4(平面図形)

(1) 25.3%!(部分正答含む62.4%)
辺の情報が乏しいので角度から攻める。
ACが直径だから、円周角定理で∠ADC=90°
仮定から∠AEB=90°  よって、∠ADC=∠AEB・・①
弧ADに対する円周角から、∠DCA=DBA ・・・②
①、②から2角が等しいので相似。それほど難しくはない。

(2) 37.6%
【1】△BDAと△BDCで三平方の定理
BA2-AD2=BD2=BC2-CD2
36-4=BC2-16
BC2=48  BC>0より、BC=4√3cm

(2) 11.6%!
∠DCE=●とおくと、△DCE内で角CDE=180-90-●=90-●
∠BDC=90°なので、∠BDE=90-(90-●)=● つまり、∠DCE=∠BDE
∠DCEは、△ABCの底角なので、(180-a)÷2=(90-a/2)°
よって、∠BDE=(90-a/2)°



大問5(数量変化)

立体図形がからみ難しめ。
(1) 43.1%
2秒後、点PはAB上にあり、点QはAD上にある。
よって、求める図形は、底面積が6cm×4cmの三角形で高さが12cmの三角錐である。
6×4×1/2×12×1/3=48cm3

(2) 30.0%!(部分正答含む41.9%)
グラフを利用。
(3.108)と(4.144)が通る直線の式を求める。
右に1いって36あがる。→傾きa=36 144=4a+bに代入。b=0、つまり比例。
よって、y=36x

(3) 26.7%!
ここらへんから苦しくなってくる。
Pは3秒後にBにつき、上に向かう。Qは4秒後にDにつく。
3秒後から4秒後の三角錐AEPQの体積の変化は、グラフから36cm3増える。
仮にPがBで停止しているとする
Qのみ2cm動き、そのとき三角錐AEPQの増加量は、
2×9×1/2×12×1/3=36cm3
ちょうど、Pが3→4秒後にBから3cm動いたときの三角錐AEPQの体積と等しくなることがわかる。ここから、PやQが上っていく間は体積が変わらないのではないかと推測できる。→イ

(4) 1.7%!!(部分正答含む13.5%)
直方体の体積の1/32は、8×9×12×1/32=27cm3
体積が急激に増えていく0~3秒後と、
PがFからEに向かって体積が減っていく7~10秒後が怪しい。

グラフから0≦x≦3の放物線の式を求める。
(3.108)を通過するので、108=9a a=12 よって、y=12x2
y=27を代入。 27=12x2 x2=12/27=4/9 x>0よりx=2/3。

7秒後にPはFに到着。QはDH上にいるが、前問より上に上がっている間は体積に変化なし
しかし、7秒を過ぎるとPはF→Eに向かい体積が減少
10秒後の三角錐AEPQの体積は0cm3となる。

イのグラフの続きをかくと、
7秒後の144cm3から10秒後には0cm3まで一直線に右下がりとなる。
そこで、7≦x≦10を考える。
3秒間で144cm3減少するので、三角錐AEPQが27cm3となるには、
10秒後から3×27/144=9/16秒手前。
10-9/16=151/16秒後。  答えは、2/3秒後と151/16秒後。

大問6(規則性)

千葉前期大問5を彷彿(ほうふつ)させる問題。複雑。もっといいやり方あるかも。。
(1)【1】 47.7%
実際に書いて調べてしまってOK。図2の下に1列足せば完成。
nはAC(対角線)と1cm四方の正方形の辺がぶつかる交点の個数
5個になるはず。
規則として考えるならば、横線の数+縦線の数となる。
ただし、図2図3の通り、辺AB、BC、CD、DA上の点は含まないので、
横線の数は(a-1)本、縦線の数は(b-1)本となる。
また、図2のように、格子点で交わると点の数が重複するので1個、数が減る。
3と4は1以外に共通の約数をもたないので格子点がない
n=(3-1)+(4-1)=2+3=5となる。

【2】 55.1%
いろんな求め方があると思う。
数が少ないので調べてしまおう。
計算で求めるとき、数直線0~4を3等分すると、4/3=1と1/3ずつわけられる。
格子点以外の場所で一段下がると、
その交点と接触する上下2つの正方形に対角線が通ることになる

つまり、1段目は左から1個目、2個目。2段目は2個目、3個目。
3段目は3個目、4個目を通過する。
したがって、計6個。

(2) 1.8%!!(部分正答含む4.9%)
記述式。やや難。
長方形の縦の長さはa、横の長さ(b)は3a。
すべての正方形の数は、3a×a=3a2
問題は、対角線ACが通る正方形の数である。
bがaの倍数になる場合、ACが上段から下段へ下がるとき、すべて格子点を通る。
bがaの3倍ならば、右に3いくと下に1下がり、ちょうど格子点の場所で下段に下がる。
実際に描いてみよう。縦2cm横6cm。縦3cm横9cm・・。
すべて対角線は格子点を通過するはず。
すると、対角線を通過する正方形の個数は、横に並んでいる正方形の個数分になる。
格子点以外の場所だと、その上下に重複していまうが、
すべてが格子点であれば単純に横に並ぶ正方形の数となる。
よって、ACを通過する正方形の数は、横の長さである3a個となる。
通過しない正方形は168個なので、
3a2-3a=168
3a2-3a-168=0
2-a-56=0  ←すべてを3で割る。
(a-8)(a+7)=0  a>0より、a=8

(3) 0.0%!!!(部分正答含む1.4%)
(1)【1】の通り、
n=(a-1)+(b-1)-(格子点の数)である。
a=9、n=44なので。
8+(b-1)-(格子点の数)=44
(b-1)-(格子点の数)=36
格子点の数は一体どう求めんのか??という話になる。
今年度の千葉(前期)大問5と同じ。
縦9、横1~9の長方形を書いて格子点の数を調べる。
すると格子点の数は0、2、8個しかでてこない。
コツは9の約数である1・3・9と、その(1以外の)倍数が怪しいとにらむ。
9と1以外で約数をもたない数は格子点がでてこない。

@格子点0個@
(b-1)-0=36  b=37

@格子点2個@
(b-1)-2=36  b=39

@格子点8個@
(b-1)-8=36  b=45
よって、b=37、39、45

格子点の数を華麗なやり方で求められる方法を発見した方は、ぜひコメントの方でお知らせください!m(_)m 中学数学の範囲内でお願いします^^;
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