2019年度 青森県公立高校入試問題【数学】解説

平均44.1点

満点が1人おった(*’ω’*)w
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合1)

(1)ア  98.8%
-8+6=-2

イ  65.9%
(-0.5)÷2/7
=-1/2×7/2
=-7/4

ウ  73.9%
  a+3b-2
-)a- b+4
   4b-6

エ  70.7%
(x-2)2-(x-1)(x+4)
=x2-4+4-x2-3x+4
=-7x+8

オ  81.3%
√3-9/√3ー√12
=√3-3√3-2√3
=-4√3

(2)  60.9%
2a+3b≦2000

(3)  70.2%
計算してから代入。
6ab2×(-a)2
=6a32
=6×(-2)3×(-1)2
=6×(-8)×1=-48

(4)  65.3%
因数分解できないので解の公式。
x=(-1±√13)/2

(5)  46.0%
『少なくとも1人は当たる』→全体-2人とも外れ。
2人が外れる確率は、〔5本から2本の外れ〕→〔4本から1本の外れ〕。
2/5×1/4=1/10
1-1/10=9/10

(6)  47.7%
A:B=②:⑤
差が③で、
移した量は半分の○1.5。
全体の⑦が、42×2=84Lに相当するので、
84×○1.5/⑦=18L

(7)  49.1%
△ABCで外角定理。
●+●+42=×+× …①
①÷2
●+21=× …②

△DBCで外角定理。
●+x=× …③
②と③から、x=21°

(8)  55.8%

青線がy=x+6
交点の座標が答え。x=-2、y=4

大問2(作図・標本調査)

(1)  70.9%
Aを通るBCに垂直な線を描く。
①Aを中心に適当な弧を描く。
②BCとの交点を中心に適当な弧をそれぞれ描き、その交点とAを結ぶ。

(2)ア…47.2% イ…28.7%!
降順に直す。
C-9、I-8、F・H-7、B-6
A-3、D-2、E・J-1

【Gは平均値より上だが、順位は真ん中より下】
ということは、C~Bがベスト5確定。
Gは5以下の値が候補となる。

G以外の和(表の値の合計)は44。
あとは地道に代入して平均を出す( ˘ω˘ )…

G=5のとき、(44+5)÷10=4.9
G=4のとき、(44+4)÷10=4.8
Gが4以下だと平均を下回る。
よって、Gは5回で平均は4.9回。
ア…5 イ…4.9


大問3(図形)

(1)ア  30.4%!

そのまんま(;´∀`)
直角三角形の合同条件である、斜辺と他の1辺が等しい点を指摘する

イ  10.0%!

BH:HC=2:3
高さが等しければ、辺の比が面積比となる
△DBH=②、△DHC=③。
前問の合同から、△DHE=③
正方形ABCDの面積は、(②+③)×2=⑩
斜線部分は、⑩-⑥=④
正方形の面積は、20×⑩/④=50cm2
1辺の長さは、√50=5√2cm

(2)ア  52.4%
5×5×π×2+5×2×π×10
=150πcm2

イ  5.9%!!
Pは30秒で1周する。
5秒後は、5/30=1/6周する。
∠AOP=360×1/6=60°

PBを作図。

∠AOP=60°と半径から、△OAPは正三角形
AP=5cm
△ABPで三平方。
PB=√(52+102)=√125=5√5cm

ウ  0.7%!!!
ОP//О’Qが成立するときは、どんなときか?

↑こんなときです。
円柱を上から見たとき、PがQの反対側にくるか、重なるか

Pは1周30秒、Qは1周45秒。
1周の長さを、30と45の最小公倍数である【90】とする
1秒あたり、Pは【3】、Qは【2】進む。

円柱を上からみる。PとQが同じ場所(AとB)から出発し、
PがQの反対側にきたとき、2人のあいだは【45】離れている。
2人の距離は【3】+【2】=【5】ずつ縮まるので、
【45】÷【5】=9秒後

そこからPとQが出会うのは、【45】÷【5】=9秒後
さらに、PがQの反対側にくるのは、2人の距離が【45】離れるときなので、
【45】÷【5】=9秒後
つまり、9秒ごとにОP//О’Qとなる。
しかし、36秒後はPが【3】×36=【108】進むので、1周【90】を越してしまう。
よって、答えは9秒後、18秒後、27秒後。

エ あ…17.1%! い…9.8%!
PQの最小値は、円柱を上からみたときにPとQが重なったとき。
PQ=10cm

PQの最大値は、PがQの反対側にきたとき。

三平方から、PQ=10√2cm
10≦PQ≦10√2
あ…10 い…10√2

大問4(関数)

(1)  55.1%
Bのx座標がわかっている。
y=16/xに代入して、B(-4、-4)
y=ax2に放り込む。
-4=(-4)2
a=-1/4

(2)  49.9%
Cのx座標は2。
y=16/xから、C(2、8)
B(-4、-4)⇒C(2、8)
右に6、上に12なので、傾きは2。
y=2x+bに代入して、b=4
y=2x+4

(3)  6.2%!!
n≦x≦4、-4≦y≦0

傾きが負なので、グラフは上に凸となる。
x=4のとき、y=-4
y=0となるには、グラフが原点を通ればいい

0≦x≦4(グラフの右側)だけで、-4≦y≦0となる。
このy変域を崩さないようにするためには、
xの最小値は-4≦x≦0にすればいい。
nは整数なので、-4、-3、-2、-1、0が答え。

(4)  8.9%!
△ACPと△ACDはACを共通辺とするので、
ACを底辺としたとき、△ACPの高さが5倍になればいい

が2cmなので、は10cm。
Pのx座標は-8となる。
y=-1/4x2に代入。
y=-1/4×82=-16
P(-8、-16)


大問5(規則)

(1)  20.4%!
1ページに2人が載るので、
1組30番は、30人÷2=15ページ
最初の2ページは学年主任や担任のページなので、
15+2=17ページ

3組1番の手前である、2組30番のページを求める。
1~2組まで60人の生徒がいる。
先ほどと同様に、60人÷2+2=32ページ
この次が3組1番だから33ページ。

(2) 3.4%!!
前問で1組30番が17ページだったので、2組は18ページから始まる。
アは偶数番号なので、2、4、6・・

ページ数(x)を用いて、番号(ア)を一般化する。
このあとで手詰まる人が多かったと思われる。

2組の前に主任や担任のページ、1組のページがあるが、
ページ下部の番号は2ずつ増えていくので、ページ数の2倍が解決の糸口になりそう・・

↑こう書くと見えてくるかな?
一番上がページ数。
真ん中がページの内容(番号は偶数番号のみ)。
最初の2ページは先生、3~17ページまでが1組。
2組は18ページからはじまる。
ページ数×2との差に注目してみよう。
2組に入ると、差が34で一定である(1組最後の17ページ×2と一緒!)。
ア=2x-34

@別解@
別解というか、高校受験っぽく解くと一次関数を用いるのだと思われる。
ページ数をx軸、番号をy軸とする。
y(ア)は2ずつ増えていくので、グラフの傾きは2。
(x、y)=(18、2)を通る式の切片を求める。
2=2×18+b
b=-34
y=2x-34

(3) イ…3.9%!!、ウ…8.1%!
積み重ねた紙を横から見る。

1枚目の表が1ページと48ページ。
その裏が2ページ目と47ページ。
2枚目の表が3と46、裏が4、45。
注意すべきは裏面を下にするので、イとウは左右が逆になる
(ひっくり返して上から裏面をみると、右がイ、左がウになる)

裏面の数字だけをみる。
【ウ】
ウがわかりやすいので、先にウから。
左下の数字に注目。
2、4、6・・
n枚目は2n。

【イ】
47、45、43・・イ
48-1、48-3、48-5・・
1、3、5…は奇数なので2n-1
n枚目は、48-(2n-1)=-2n+49

@別解@
どのページも左右の数字の和が49なので、
先ほどの2nを使い、49-2n(=-2n+49)

(4) 0.7%!!!
a-b=10ということは、a>b。
この関係が成り立つのは、前問のイ・ウのように裏面である。

a、bは2組の偶数番号で、
それぞれの番号が載っているページをAページ、Bページとする。
(2)の式から、a=2A-34、b=2B-34
a-b=2A-34-(2B-34)
=2A-2B=2(A-B)=10
A-B=5
ページ数の差が5になるところを探す。

1枚の紙に4ページ分(左右と表裏)あって全部で48ページだから、
48÷4=12枚の紙がある。
紙を開いたとき、左右ともに2組が登場するということは、
折り返し付近にあるのではないかと推測。

(3)と同様に、重ねた紙を横からみると、
折り返しの24ページは12枚目(一番下)の裏にくる。
(前問のウで、2n=2×12=24が成立している)

(24、25)の組み合わせから、(-1、+1)をして調べていくと、
11枚目の裏面で22ページと27ページの差が5になる。
よって、11枚目の裏。


この編成で満点とれた青森の子、アッパレです。
大問3の解説は、中学入試の解き方が色濃く反映されています。
ページの規則は切り口を見つけるのが難しいね(;`ω´)
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