2021年度 新潟県公立高校入試過去問【数学】解説

平均53.7点(前年比;+8.4点)

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は標本調査。

大問1(小問集合)―85.9%

(1) 99.0%
6-13=-7

(2) 93.8%
2(3a+b)-(a+4b)
=6a+2b-a-4b
5a-2b

(3) 94.8%
35÷ab2
=a23

(4) 92.4%
√14×√2+√7
=2√7+√7
=3√7

(5) 85.2%
2+7x+5=0
解の公式を適用。
x=(-7±√29)/2

(6) 73.3%
y=ax2に、(x、y)=(-2、12)を放り込む。
12=4a
a=3
y=3x2
*y=-6xの誤答が見られた。(比例ではない)

(7) 66.1%

半径OB⊥垂線PB
直角三角形OBPの内角で、∠POB=180-(28+90)=62°
これは弧ABに対する中心角で、xはその円周角に相当する。
x=62÷2=31°

(8)① 77.8%
相対度数は小数であらわす。
20÷80=0.25

② 87.0%
80人の中央値(メジアン)は40番目と41番目の平均。
いずれも600m以上800m未満の階級に属する。
*400m以上600m未満の誤答が見られた。

大問2(小問集合2)―52.2%

(1) 54.2%
答案では求め方も記述する。
連続する2つの自然数をn、n+1とする。
n(n+1)=n+(n+1)+55
2-n-56
=(n-8)(n+7)=0
n>0だから、n=8
n+1=9

連続する2つの自然数は8と9。
*検算すると、(8+9)+55=72=8×9
誤答では7、8が見られた。

(2) 67.8%
答案では求め方も記述する。
違う色より同じ色を出すパターンの方が少ない。
全体-同じ色=違う色
全体は5×3=15通り

■赤2個
Aから赤、Bから赤1か赤2⇒2通り
■白2個
Aから白1か白2、Bから白⇒2通り
同色2個は計4通り
異色2個は15-4=11通り
確率は11/15。

(3) 31.2%!

とりあえずDを描いてみる。
△ABDの内角で、∠BAD=180-(60+105)=15°

これみよがしにMが与えられているので、
AMに線をひき正三角形ABCを真っ二つに割ると∠BAM=30°だから、
∠DAM=30-15=15°

ということは、ADは∠BAMの二等分線である
これとBCとの交点がDとなる。
*誤答では、DをBMの中点とするものが見られた。


大問3(数量変化)―33.1%

(1) 68.3%
原点から右に6、上に180なので、
直線の傾きは180÷60=30
*誤答では傾きではなく、方程式を書くものが見られた。
問題文をよく読もう!

(2)① 37.0%

グラフ上で相似図形をつくる。
?=50×6/4=75
切片b=180-75
=105
*誤答ではb=180が見られた。

② 21.7%!

折れ曲がったあとの線はPだけ。
これを延長した青線の上昇分125LはPオンリーの場合
230Lのうち、Pからは125L、Qからは105Lの水が出た。
青線Pを原点に移すとうえのようになる。

(3) 14.7%!
答案では求め方も記述する。
Pは10分で125L出す。
Qは105L出す。Pが105Lとなるのは、
10×105/125=8・2/5分=
8分24秒後

大問4(平面図形)―26.1%

(1) 31.8%!

【DE=DB-EB】
△BDCで三平方→DB=2√5cm
△ACD≡△FBEより、EB=
DC=4cm
DE=
2√5-4cm

(2)① 87.4%
出題形式が特殊である:( ´ω` ):
素直にリード文に従おう。

∠QRP=∠BEF=∠DCB=
90°

② 68.4%
上図のように3点P、Q、Rを通る円を描く。

直径PQに対する円周角PRQは90°
直径はPQ。

③ 5.9%!!

リエの考え方『3点P、Q、Rを通る円』を描いてみる。
∠POQ=90°ゆえ、Oは直径をPQとする円周上にあり、
4点O、P、R、Qは同一円周上にあることになる。
弧RQに対する円周
角より、∠ROX=∠RPQとなる。
*誤答では、4点OPQRが同一円周上にあることを既知として証明するものがみられた。

④ 0.4%!!!
答案では求め方も記述する。

一応、Rが一直線上を動く理由を確認しておくと、
前問の∠ROX=∠RPQの証明より、∠RPQの大きさは変わらないので、
∠ROXの大きさも変わらない→Rは1つの直線上を動く
・・なんとなくRがいったん上へ戻ってそう( ´д)ヒソ(´д`)ヒソ(д`)

図1に立ち返るとRの軌跡が見えやすいと思う。
RがB(Oの位置)から最も離れるのはDにいるとき
【E⇒D⇒】の順に動く。

(1)の数字を使う。
(2√5-4)×2+(4-2)
4√5-6cm


大問5(空間図形)―44.7%

(1) 87.9%
MとNはそれぞれ中点→中点連結定理を適用。

MN=CD÷2=8÷2=4cm

(2) 44.9%
△AEM∽△BFEの証明。

数値が与えられている場合はそれを用いる。
AE=2cm、AM=4cm
BF=3cm、BE=6cm
AE:BF=AM:BE=2:3
正三角形ABCの内角より、∠MAE=∠EBF=60°
2辺の比とあいだの角が等しいので∽。
*誤答では、2つの三角形が直角三角形であることを既知として利用したものが見られた。

(3) 1.5%!!
答案では求め方も記述する。

底面積の比はわかりやすい。
△AMN∽△ACDより、△AMN
:四角形MCDN=①:③
あとは高さの比さえわかれば体積比がでる。

前問の図を手がかりにする。
EとFから垂線をひき、ACとの交点をG、Hとすると、
三角錘E―AMNと四角錘FーMCDNの高さはEG、FHにあたる。

△AEGと△CFHは内角が30°-60°-90°の直角三角形で相似。
三角錘E―AMNと四角錘FーMCDNの高さの比はEA:FCに相当する
EA:FC=【2】:【5】

三角錐E―AMN:四角錐FーMCDN
=①×【2】:③×【5】
=2:15
四角形FーMCDNの体積は、三角錘E―AMNの15/2倍。

大問1
計算問題の正答率が高い。失点注意!
(7)xは明らかに円周角。中心角を知りたい。
大問2
(1)答えがでたら検算してみよう。
(3)適当なDを描き、とっかかりを見出す。
大問3
(2)①切片は一次関数でも求められる。中2で習う範囲。
②後半はPだけ。それを延長した線もPだけ。切片分はQだけ。
(3)前問の続き。Qの105Lが固定。
大問4
(2)②までは正解したい。
③変わった出題形式ゆえ、対応力が試される。
等角の証明に何が使えるか。『3点PQRを通る円』⇒円周角の定理
④Rはいったん戻る。図1で考えるのがわかりやすい。RはBD上を動いている。
大問5
(3)底面積の比×高さの比=体積比
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