2015年度 埼玉県公立高校入試【数学】解説

平均48.1点
問題はコチラから→リセマムさん

大問1(小問集合1)

大問1だけで、なんと50点分もある!
ケアレス注意です。数問つっかかる問いがあります。
(1)8x-4x=4x

(2)5+3×(-2)=5-6=-1

(3)√24-√6
=2√6-√6=√6

(4)x2+8x+16=(x+4)2と因数分解したあとに代入。
(x+4)2=(-4+√2+4)2=√22=2

(5)素直に解の公式。
x=(3±√29)/10

(6)連立方程式。
代入法でも加減法でも。x=-2、y=2

(7)実際に放物線を描いてみよう。傾きが負なので、グラフは上に凸となる。
yの最大値はx=0のときであることに注意
-9≦y≦0

(8)56個取り出して、35個が黒。白は56-35=21個。
黒:白=35:21=5:3。この割合は母集団(480個)でも同じ配分割合であると推測。
黒玉の数は、480×5/8=300個

(9)思いのほか、時間がかかったかもしれない。解法は複数あると思われる。
以下、サボなりの解放。
OCに線をひく。半径は等しいから、△OCDは二等辺三角形。∠ODC=∠OCD=x°
△ODAも二等辺三角形。円周角定理から、∠ODA=33°。二等辺から∠OAD=33°
仮定からAC=ADで、△ACDも二等辺。∠ADC=∠ACD=x°+33°
∠OCD=x°であるから、∠OCA=33°。△OACも二等辺だから、∠OAD=33°
△ACDの内角から、(33+33)+(33+x)+(33+x)=180  x=24°
説明は長くなったが、図形に図示するとわかりやすくなる。

(10)確率。整数になる組み合わせを漏れなく調べる。
(a、b)=(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,2)(2,4)(3,3)(4,4)(5,5)
10通り 全体は5×5=25通り → 10/25=2/5

(11)①うるう年問題。
4の倍数で閏年。しかし、100の倍数だと閏年ではない。もっとも、400の倍数だと閏年
ルールはⅢ→Ⅱ→Ⅰの順に優先適用される。

Aさんが、「2000年はうるう年」とヒントを出してくれているが、
ルールⅢからも2000年はうるう年とわかる。2000、2004、2008、2012の4回でウ。
②公式解答の説明が、じゃっかん荒い。365日を7日で割る。
365÷7=52・・1
つまり、平年は52週+1日なので、曜日は1つずつズレる。
うるう年では、366÷7=52・・2で、曜日は2つずつズレる。
2015年3月2日~2016年3月1日の間には、うるう年が存在する。2019-20年も同様。
2015/3/2月→ 2016/3/2水→ 2017/3/2木 →2018/3/2金→ 2019/3/2土→ 2020/3/2月
よって、2020年となる。ルールⅡⅢは検討する必要はなかった。

大問2(図形&関数)

(1)一見すると、いびつな形。OEとOFに補助線
△OAEは、3:4:5の直角三角形(AO=6cm、OE=10cm)でAE=8cm。
△FBOも、3:4:5の直角三角形(BO=8cm、OF=10cm)。BF=6cm。
これらは3辺の長さが同じ。よって、△OAE≡△EBO。
対応する角度は等しい。等しい角度に○や×を記してみよう。
∠EOA+∠FOB=90°とわかる。すると、扇形の中心角である∠EOF=90°。
求める面積は、底辺6cm高さ8cmの三角形2個と、半径10cm中心角90°の扇形
6×8×1/2×2+10×10×π×1/4=25π+48cm2

(2)作図。3等分ということは、円の中心から180÷3=60°を描けばOK。
60°は正三角形を利用を利用する
【1】円の中心は、ABの垂直二等分線。中心をOとする。
【2】AOの長さをとって、Aから弧ABに向けて交点。P完成。
【3】同じ長さで、PからB方向の弧に向かって交点。Q完成。
PとQの位置を逆にしないように!

(3)関数。
Cのx座標が-3なので、y=1/3x2から、C(-3,3)。
直線COの式は、右に3いって3下がるので、傾きが-1。
平行四辺形だから、CO//DB(直線ℓ)。直線ℓの傾きも-1。
Aの座標は(-6,12)。
Bは直線ℓの切片。傾き-1だから、Aから右に6いくと6さがるので切片は6。
よって、ℓ:y=-x+6

(4)図2に注目!EA、EH、EFが全て直方体の1辺ですよね
つまり、きれいな三角錐。体積は、12×20×1/2×9×1/3=360cm
これを直方体の底面積で割る。360÷12÷20=3/2cm

大問3(数量変化)

(1)グラフをみると、Pは5秒後にDにつく。つまり、Pの速さは毎秒3cm
よって、y=3x
(2)長方形の半分ということは、台形ABQPの上底+下底=15cm
言い換えれば、AP+BQ=15cmのとき
理由は、もう半分の台形は上底+下底=15cmで高さも一緒だから、面積も等しくなる。
PとQの行きと帰りにAP+BQ=15cmのときがある。
@往路@
Pは3xcm、Qは2xcm進むから、
AP+BQ=3x+2x=15
5x=15  x=3
@復路@
AP=(30-3x)cm、BQ=(30-2x)cmだから、
AP+BQ=(30-3x)+(30-2x)=15
60-5x=15  5x=45  x=9
したがって、答えは3秒後と9秒後。

大問4(平面図形)

図形問題多し。
(1)公式解答が最も鮮やか。
紙を折ると、折り線は角の二等分線となる
これと錯角をコンボすると△ACFが二等辺三角形となる。
他にも、△ADF≡△CEFを証明して、FA=FCを証明する方法もある。
合同条件は1辺と両端角が等しい。∠ADF=∠CEF=90°。∠DFA=∠EFC(対頂角)
残りの角が等しくなるので、∠FAD=∠FCE。長方形1辺からAD=CEとなる。

(2)結論からいえば、△FEC内で三平方の定理
EF=xとおく。
前問の別解から△ADF≡△CEF。対応する辺は等しいのでDF=x
FC=12√2-x  EC=12
これで、△FECの3辺の長さを、すべてxと数字であらわせる
(12√2-x)2=122+x2
288-24√2x+x2=144+x2  ←両辺からx2を削除。
24√2x=144
√2x=6    ←有理化。
x=3√2cm

(3)ラスト記述。中途半端なところの面積を求める。
△IAH:=△ICD=AH:CD=3√2:12√2=1:4
よって、HI:ID=1:4 ・・・①
△JAH:△JFD=AH:FD=2√2:2√2=1:1
よって、HJ:JD=1:1 ・・・②
①と②からHI:IJ:JDを求める。

--①-- ------④----ー-
H    I   J        D
---【1】--- --【1】---

これで理解してもらえるだろうか(^^;
写真だと一発なのですが、このブログに載せるの大変なんです(^^;;
⑤=【2】となるので、通分して全体〔10〕でなおすと・・
HI:IJ:JD=2:3:5
△HADの面積は、12×3√2×1/2=18√2cm2
よって、底辺の比から、△AIJ=18√2×3/10=27√2/5cm2
*公式解答では△AHJ-△AHI=△AIJで求めている。
JがDHの中点にくる理由については詳しく触れていない。
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