2015年度　埼玉県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均48.1点（前年比；＋3.1点）
問題ＰＤＦ

大問１（小問集合１）

大問１だけで５０点分もある。ケアレス注意です。
（１）
８ｘ－４ｘ
＝４ｘ

（２）
５＋３×（－２）
＝５－６
＝－１

（３）
√２４－√６
＝２√６－√６
＝√６

（４）
ｘ²＋８ｘ＋１６＝（ｘ＋４）²と因数分解したあとに代入。
（ｘ＋４）²
＝（－４＋√２＋４）²
＝２

（５）
解の公式。
ｘ＝（３±√２９）/１０

（６）
連立方程式。
代入法でも加減法でも。ｘ＝－２、ｙ＝２

（７）
実際に放物線を描いてみよう。傾きが負なので、グラフは上に凸となる。
ｙの最大値はｘ＝０のときであることに注意！
－９≦ｙ≦０

（８）
５６個取り出して、３５個が黒。白は５６－３５＝２１個。
黒：白＝３５：２１＝５：３。この割合は母集団（４８０個）でも同じ配分割合であると推測。
黒玉の数は、４８０×５/８＝３００個

（９）
時間がかかったかもしれない。解法は複数あると思われる。
以下、サボなりの解放。
ＯＣに線をひく。半径は等しいから、△ＯＣＤは二等辺三角形。∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝ｘ°
△ＯＤＡも二等辺三角形。円周角定理から、∠ＯＤＡ＝３３°。二等辺から∠ＯＡＤ＝３３°
仮定からＡＣ＝ＡＤで、△ＡＣＤも二等辺。∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ＝ｘ°＋３３°
∠ＯＣＤ＝ｘ°であるから、∠ＯＣＡ＝３３°。△ＯＡＣも二等辺だから、∠ＯＡＤ＝３３°
△ＡＣＤの内角から、（３３＋３３）＋（３３＋ｘ）＋（３３＋ｘ）＝１８０
ｘ＝２４°

（10）
確率。整数になる組み合わせを漏れなく調べる。
（ａ、ｂ）＝（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（2,2）（2,4）（3,3）（4,4）（5,5）
１０通り
全体は５×５＝２５通り
１０/２５＝２/５

（11）①うるう年問題。
４の倍数で閏年。しかし、100の倍数だと閏年ではない。もっとも、400の倍数だと閏年。
ルールはⅢ→Ⅱ→Ⅰの順に優先適用される。

Ａさんが、｢2000年はうるう年｣とヒントを出してくれているが、
ルールⅢからも2000年はうるう年とわかる。2000、2004、2008、2012の４回でウ

②
３６５日を７日で割る。
３６５÷７＝５２・・１
つまり、平年は５２週＋１日なので、曜日は１つずつズレる。
うるう年では、３６６÷７＝５２・・２で、曜日は２つずつズレる。
2015年3月２日～2016年３月１日の間には、うるう年が存在する。2019－20年も同様。
2015/3/2月→ 2016/3/2水→ 2017/3/2木 →2018/3/2金→ 2019/3/2土→ 2020/3/2月
２０２０年となる。ルールⅡⅢは検討する必要はなかった。

大問２（図形・関数）

（１）
一見すると、いびつな形。ＯＥとＯＦに補助線。
△ＯＡＥは、３：４：５の直角三角形（ＡＯ＝６ｃｍ、ＯＥ＝１０ｃｍ）でＡＥ＝８ｃｍ
△ＦＢＯも、３：４：５の直角三角形（ＢＯ＝８ｃｍ、ＯＦ＝１０ｃｍ）ＢＦ＝６ｃｍ
これらは３辺の長さが同じ→△ＯＡＥ≡△ＥＢＯ
対応する角度は等しい。等しい角度に○や×を記してみよう。
∠ＥＯＡ＋∠ＦＯＢ＝９０°とわかる。すると、扇形の中心角である∠ＥＯＦ＝９０°
求める面積は、底辺６ｃｍ高さ８ｃｍの三角形２個と、半径１０ｃｍ中心角９０°の扇形。
６×８×１/２×２＋１０×１０×π×１/４＝２５π＋４８ｃｍ²

（２）
作図。３等分ということは、円の中心から１８０÷３＝６０°を描けばＯＫ。
６０°は正三角形を利用を利用する。
【１】円の中心は、ＡＢの垂直二等分線。中心をＯとする。
【２】ＡＯの長さをとって、Ａから弧ＡＢに向けて交点。Ｐ完成。
【３】同じ長さで、ＰからＢ方向の弧に向かって交点。Ｑ完成。
ＰとＱの位置を逆にしないように！

（３）関数
Ｃのｘ座標が－３なので、ｙ＝１/３ｘ²から、Ｃ（－３、３）
直線ＣＯの式は、右に３いって３下がるので、傾きが－１
平行四辺形だから、ＣＯ//ＤＢ（直線ℓ）直線ℓの傾きも－１
Ａの座標は（－６、１２）
Ｂは直線ℓの切片。傾き－１だから、Ａから右に６いくと６さがるので切片は６
ℓ：ｙ＝－ｘ＋６

（４）
図２に注目！ＥＡ、ＥＨ、ＥＦが全て直方体の１辺ですよね。
つまり、きれいな三角錐。体積は、１２×２０×１/２×９×１/３＝３６０ｃｍ^３
これを直方体の底面積で割る。３６０÷１２÷２０＝３/２ｃｍ

大問３（数量変化）

（１）
グラフをみると、Ｐは５秒後にＤにつく。つまり、Ｐの速さは毎秒３ｃｍ
ｙ＝３ｘ

（２）
長方形の半分ということは、台形ＡＢＱＰの上底＋下底＝１５ｃｍ
言い換えれば、ＡＰ＋ＢＱ＝１５ｃｍのとき。
理由は、もう半分の台形は上底＋下底＝１５ｃｍで高さも一緒だから、面積も等しくなる。
ＰとＱの行きと帰りにＡＰ＋ＢＱ＝１５ｃｍのときがある。
＠往路＠
Ｐは３ｘｃｍ、Ｑは２ｘｃｍ進むから、
ＡＰ＋ＢＱ＝３ｘ＋２ｘ＝１５
５ｘ＝１５　　ｘ＝３
＠復路＠
ＡＰ＝（３０－３ｘ）ｃｍ、ＢＱ＝（３０－２ｘ）ｃｍだから、
ＡＰ＋ＢＱ＝（３０－３ｘ）＋（３０－２ｘ）＝１５
６０－５ｘ＝１５　　５ｘ＝４５　　ｘ＝９
答えは３秒後と９秒後

大問４（平面図形）

図形問題多し。
（１）
紙を折ると、折り線は角の二等分線となる。
これと錯角をコンボすると△ＡＣＦが二等辺三角形となる。
他にも、△ＡＤＦ≡△ＣＥＦを証明して、ＦＡ＝ＦＣを証明する方法もある。
合同条件は１辺と両端角が等しい。∠ＡＤＦ＝∠ＣＥＦ＝９０°。∠ＤＦＡ＝∠ＥＦＣ（対頂角）
残りの角が等しくなるので、∠ＦＡＤ＝∠ＦＣＥ。長方形１辺からＡＤ＝ＣＥとなる。

（２）
結論からいえば、△ＦＥＣ内で三平方の定理。
ＥＦ＝ｘとおく。
前問の別解から△ＡＤＦ≡△ＣＥＦ。対応する辺は等しいのでＤＦ＝ｘ
ＦＣ＝１２√２－ｘ　　ＥＣ＝１２
これで、△ＦＥＣの３辺の長さを、すべてｘと数字であらわせる。
（１２√２－ｘ）²＝１２²＋ｘ²
２８８－２４√２ｘ＋ｘ²＝１４４＋ｘ²　　←両辺からｘ²を削除
２４√２ｘ＝１４４
√２ｘ＝６
ｘ＝３√２ｃｍ

（３）
ラスト記述。中途半端なところの面積を求める。
△ＩＡＨ：＝△ＩＣＤ＝ＡＨ：ＣＤ＝３√２：１２√２＝１：４
ＨＩ：ＩＤ＝1：４　・・・①
△ＪＡＨ：△ＪＦＤ＝ＡＨ：ＦＤ＝２√２：２√２＝１：１
ＨＪ：ＪＤ＝１：１　・・・②
①と②からＨＩ：ＩＪ：ＪＤを求める。

－－①－－　－－－－－－④－－－－ー－
Ｈ　　　　Ｉ　　　Ｊ　　　　　　　　Ｄ
－－－【１】－－－　－－【１】－－－
⑤＝【２】なので、通分して全体〔１０〕でなおすと・・
ＨＩ：ＩＪ：ＪＤ＝２：３：５
△ＨＡＤの面積は、１２×３√２×１/２＝１８√２ｃｍ²
底辺の比から、△ＡＩＪ＝１８√２×３/１０＝２７√２/５ｃｍ²
*公式解答では△ＡＨＪ－△ＡＨＩ＝△ＡＩＪで求めている。