2019年度　大阪府公立高校過去問【数学】Ｃ問題解説

平均58.0点
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2019年大阪府Ａ問題・Ｂ問題は別ページ。

大問１（小問集合）

（１）　87.3％
ｘ²－10ｘ＋２
＝ｘ（ｘ－10）＋２
＝（５－２√３）（－５－２√３）＋２
＝－（５－２√３）（５＋２√３）＋２　←マイナスを外に出して和と差の平方にする
＝－｛５²－（２√３）²}＋２
＝－（25－12）＋２＝－13＋２＝－11

（２）　87.7％
ｘ－ｙ＋１＝３ｘ＋７　⇒－２ｘ－ｙ＝６
３ｘ＋７＝－２ｙ　⇒３ｘ＋２ｙ＝－７
ｘ－ｙ＋１＝－２ｙ　⇒ｘ＋ｙ＝－１
いずれから２つを選んで連立を組む。
ｘ＝－５、ｙ＝４

（３）　83.6％
（ａ＋２ｂ）²＋ａ＋２ｂ－２
＝（ａ＋２ｂ）²＋（ａ＋２ｂ）－２　←（ａ＋２ｂ）をＸと置く
＝Ｘ²＋Ｘ－２
＝（Ｘ＋２）（Ｘ－１）　←Ｘを（ａ＋２ｂ）に戻す
＝（ａ＋２ｂ＋２）（ａ＋２ｂ－１）

（４）　90.9％
全てを２乗する。
（√31）²＝31、（８/√２）²＝64/２=32、5.5²＝30.25
5.5＜√31＜８/√２→オ

（５）　58.2％
素数は１を含まない。２、３、５、７、11…
２ａ/ｂに当てはめて、（ａ、ｂ）の組み合わせを探す。
■２
（１、１）（２、２）（３、３）（４、４）（５、５）（６、６）
■３
（２、３）（４、６）
■５
（２、５）
計９通り。
９/36＝１/４

（６）　20.9％！
ランダムで40個取り出したとき、初めは黒：白＝32：８＝４：１であったが、
白100個を追加して同様に繰りかえすと、黒：白＝28：12＝７：３となった。
黒の数が変わっていないことに注目。黒を通分してみる。

白の増加分、□５が100個に相当する。
黒の数は、100×28/５＝560個

（７）　50.9％
ａ＝２ｎ－１、ｂ＝２ｎ＋１とおく（ｎは自然数）。
ｂ²－ａ²
＝（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）
＝（２ｎ＋１＋２ｎ－１）（２ｎ＋１－２ｎ＋１）
＝４ｎ×２＝８ｎ
これが100の倍数となるので、８ｎ＝100ｋとおいてみる。
試しに、ｋ＝１をいれるとｎが自然数にならない。
ｋ＝２のとき、８ｎ＝200、ｎ＝25
ａ＝２×25－１＝49　ｂ＝49＋２＝51
ａ＝49、ｂ＝51

ｋ＝４をいれると、８ｎ＝400、ｎ＝50となり、
ａ＝99、ｂ＝101と題意に適さなくなる。

（８）　50.1％
説明記述付き。１個ずつ丁寧に処理をする。
Ａ（ｔ、３ｔ＋２）⇒ＡＢ＝３ｔ＋２
ＤＥ＝ＡＢより、Ｄのｘ座標はｔ－（３ｔ＋２）＝－２ｔ－２
これとｙ軸に線対称の関係にあるＣのｘ座標は２ｔ＋２。
ＥＣ＝（２ｔ＋２）－ｔ＝ｔ＋２
一方、Ｃはｍ上の点なので、ｙ＝１/８ｘ²に代入して、
Ｃの座標は（２ｔ＋２、１/２ｔ²＋ｔ＋１/２）
ＣＦ＝１/２ｔ²＋ｔ＋１/２
ＥＣ＝ＣＦより、ｔ＋２＝１/２ｔ²＋ｔ＋１/２
ｔ＞０で、ｔ＝√３

大問２（平面図形）

（１）　73.2％
扇形ＯＡＢは、半径４ｃｍ、中心角がａ度。
これらを円周の長さの公式にあてはめればいい。
４×２×π×ａ/360＝πａ/45ｃｍ

（２）　42.6％
ＦＯ＝ＦＣの証明。
辺の情報が乏しいので、角度から攻める。

△ＡＣＤは二等辺三角形なので、
∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝●とおく。
円周角定理と外角定理で２角が等しい⇒△ＦＯＣは二等辺⇒ＦＯ＝ＦＣ

（３）①　33.6％

△ＡＯＣ∽△ＯＦＣに気づけるかどうか。
△ＡＯＣも２つの半径から二等辺である。
ＯＣ：ＣＡ＝ＦＣ：ＣＯ＝４：６
ＦＣ＝４×４/６=８/３cm

②　22.7％！
前問より、ＦＣ＝８/３
ＡＦ＝６－８/３＝10/３

△ＡＢＣで三平方→ＡＢ＝２√７
△ＡＢＣ⇒△ＡＯＣ⇒△ＡＯＦの順で面積をしぼっていく。
６×２√７÷２×１/２×10/18＝５√７/３ｃｍ²

大問３（空間図形）

（１）①　74.3％
四角形ＡＤＥＢは等脚台形。

△ＡＥＢの高さは、√（８²－１²）＝√63＝３√７
３×３√７÷２＝９√７/２ｃｍ²

②　74.5％
△ＡＤＥに着目。
ＤＧ：ＧＥ＝２：３
ＨＧ//ＡＥから、ＤＨ：ＨＡ＝２：３（平行線と線分の比）
ＡＨ＝８×３/５＝24/５ｃｍ

③　18.2％！
△ＡＣＤに着目。

ＤからＡＣに垂線をおろし、交点をＬとおく。
ＬＤがでれば、△ＡＬＤ∽△ＡＩＨからＩＨがでる。
ＬＤは△ＡＣＤにおいてＡＣを底辺としたときの高さ。

底辺をＣＤとおいたときの△ＡＣＤの高さは三平方から２√15。
底辺ＣＤ→底辺ＡＣは４→８と２倍になるので、高さは２√15→√15。
ＬＤ＝√15
ＩＨ＝√15×３/５＝３√15/５ｃｍ

（２）①　67.3％
四角形ＡＤＥＢをピックアップ。

ＡＢ//ＪＫ//ＤＥ、ＢＫ：ＫＥ＝２：６＝１：３
Ｂを通るＡＤに平行な補助線をひいて、
ＪＫ＝３＋２×１/４＝７/２ｃｍ
ここまでは正解しておきたい。

②　12.7％！

まずは全体の高さを調べる。
ＤＥに平行で同じ長さになるまでＡＢを延長。
（図形全体を三角柱にする）
ＡＭ＝１
△ＡＭＤで三平方→ＭＤ＝３√７
△ＭＮＤで三平方→ＭＮ＝√59（全体の高さ）

同じことをＪＫで行う。
この三角柱の高さは、ＡＤ：ＪＤ＝４：３より、
√59×３/４＝３√59/４
ＯＣＤ－ＰＦＥの三角柱から、Ｊ－ＯＣＤとＫ－ＰＦＥの三角錐をひけばいい。
２つの合同な三角錐の高さの合計ＪＯ＋ＫＰは、５－７/２＝３/２
４×３√59/４÷２×５－４×３√59/４÷２×３/２÷３
＝４×３√59/４×÷２×（５－３/２÷３）
＝27√59/４ｃｍ³
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