2019年度 大阪府公立高校入試問題【数学】C問題解説

平均58.0点
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2019年大阪府A問題B問題は別ページ。

大問1(小問集合)

(1)  87.3%
2-10x+2
=x(x-10)+2
=(5-2√3)(-5-2√3)+2
(5-2√3)(5+2√3)+2 ←マイナスを外に出して和と差の平方にする
=-{52-(2√3)2}+2
=-(25-1
2)+2=-13+2=-11

(2)  87.7%
x-y+1=3x+7 ⇒-2x-y=6
3x+7=-2y ⇒3x+2y=-7
x-y+1=-2y ⇒x+y=-1
いずれから2つを選んで連立を組む。
x=-5、y=4

(3)  83.6%
(a+2b)2+a+2b-2
=(a+2b)2+(a+2b)-2 ←(a+2b)をXと置く
=X2+X-2
=(X+2)(X-1) ←Xを(a+2b)に戻す
=(a+2b+2)(a+2b-1)

(4)  90.9%
全てを2乗する。
(√31)2=31、(8/√2)2=64/2=32、5.52=30.25
5.5<√31<8/√2→オ

(5)  58.2%
素数は1を含まない。2、3、5、7、11…
2a/bに当てはめて、(a、b)の組み合わせを探す。
■2
(1、1)(2、2)(3、3)(4、4)(5、5)(6、6)
■3
(2、3)(4、6)
■5
(2、5)
計9通り。
9/36=1/4

(6)  20.9%!
この手のタイプで他の都道府県には見られない要素を含んでいる:;(∩´_`∩);:
ランダムで40個取り出したとき、初めは黒:白=32:8=4:1であったが、
白100個を追加して同様に繰りかえすと、黒:白=28:12=7:3となった。
黒の数が変わっていないことに注目。黒を通分してみる。

白の増加分、□5が100個に相当する。
黒の数は、100×28/5=560個

(7)  50.9%
a=2n-1、b=2n+1とおく(nは自然数)。
2-a2
=(b+a)(b-a)
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n×2=8n
これが100の倍数となるので、8n=100kとおいてみる。
試しに、k=1をいれるとnが自然数にならない。
k=2のとき、8n=200、n=25。
a=2×25-1=49 b=49+2=51
a=49、b=51

k=4をいれると、8n=400、n=50となり、
a=99、b=101と題意に適さなくなる。

(8)  50.1%
説明記述付き。1個ずつ丁寧に処理をする。
A(t、3t+2)⇒AB=3t+2
DE=ABより、Dのx座標はt-(3t+2)=-2t-2
これとy軸に線対称の関係にあるCのx座標は2t+2。
EC=(2t+2)-t=t+2
一方、Cはm上の点なので、y=1/8x2に代入して、
Cの座標は(2t+2、1/2t2+t+1/2)
CF=1/2t2+t+1/2
EC=CFより、t+2=1/2t2+t+1/2
t>0で、t=√3
計算がメンドイので焦る(´Д`)

大問2(平面図形)

(1)  73.2%
扇形OABは、半径4cm、中心角がa度。
これらを円周の長さの公式にあてはめればいい。
4×2×π×a/360=πa/45cm

(2)  42.6%
FO=FCの証明。
辺の情報が乏しいので、角度から攻める。

△ACDは二等辺三角形なので、
∠CAD=∠CDA=とおく。
円周角定理と外角定理で2角が等しい⇒△FOCは二等辺⇒FO=FC

(3)①  33.6%

△AOC∽△OFCに気づけるかどうか…。
△AOCも2つの半径から二等辺である。
OC:CA=FC:CO=4:6
FC=4×4/6=8/3cm

②  22.7%!
前問より、FC=8/3
AF=6-8/3=10/3

△ABCで三平方→AB=2√7
△ABC⇒△AOC⇒△AOFの順で面積をしぼっていく。
6×2√7÷2×1/2×10/18=5√7/3cm2

大問3(空間図形)

(1)①  74.3%
四角形ADEBは等脚台形。

△AEBの高さは、√(82-12)=√63=3√7
3×3√7÷2=9√7/2cm2

②  74.5%
△ADEに着目。
DG:GE=2:3
HG//AEから、DH:HA=2:3(平行線と線分の比)
AH=8×3/5=24/5cm

③  18.2%!
△ACDに着目。

DからACに垂線をおろし、交点をLとおく。
LDがでれば、△ALD∽△AIHからIHがでる。
LDは△ACDにおいてACを底辺としたときの高さ。

底辺をCDとおいたときの△ACDの高さは三平方から2√15。
底辺CD→底辺ACは4→8と2倍になるので、高さは2√15→√15。
LD=√15
IH=√15×3/5=3√15/5cm

(2)①  67.3%
四角形ADEBをピックアップ。

AB//JK//DE、BK:KE=2:6=1:3
Bを通るADに平行な補助線をひいて、
JK=3+2×1/4=7/2cm
ここまでは正解しておきたい。

②  12.7%!
ラスボス。慣れていないとキツイよ(`ω´)

まずは全体の高さを調べる。
DEに平行で同じ長さになるまでABを延長。
(図形全体を三角柱にする)
AM=1
△AMDで三平方→MD=3√7
△MNDで三平方→MN=√59(全体の高さ)

同じことをJKで行う。
この三角柱の高さは、AD:JD=4:3より、
√59×3/4=3√59/4
OCD-PFEの三角柱から、J-OCDとK-PFEの三角錐をひけばいい。
2つの合同な三角錐の高さの合計JO+KPは、5-7
/2=3/2
4×3√59/4÷2×5-4×3√59/4÷2×3/2÷3
4×3√59/4×÷2×(5-3/2÷3)
=27√59/4cm3
他に良い解法を見つけた方はご連絡ください(^^;

1(6)は中学受験の算数でもよくみられる手法で、
変わっていない要素に着目する。
ラストの空間は難しいが、(C受験者のなかで)そこそこの正解率はでているので、
演習で触れたか否かで差がでたんだと思う。

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