2021年度 兵庫県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
-7-(-2)
=-7+2=-5

(2)
-6x2y÷2xy
=-3x

(3)
4√5-√20
=4√5-2√5
=2√5

(4)
2-4y2
=(x+2y)(x-2y)

(5)
2-3x-5=0
解の公式を適用して、x=(3+±√29)/2

(6)
球の表面積S=4πr2
4π×22=16πcm2

(7)

錯角で58°を下ろす。
180-110=70°
最後に外角定理で、x=70+58=128°

(8)
25人の中央値(メジアン)は、(25+1)÷2=13番目
表から13番目は400~500gの階級。
3/25=12/100=0.12

大問2(数量変化)

(1)
BはAと同時に出発して、Aより5分早く着くから30分間走り続ける
2700÷30=分速90分

(2)
自転車の時間をa分、歩いた時間をb分とする。
時間の合計で等式⇒a+b=35 …①
距離の合計で等式⇒160a+60b=2700 …②

うえの連立を解く。②-①×60が良いかな?
a=6、b=29
自転車の時間は6分で、歩いた時間は29分。
ア…160a+60b、イ…6、ウ…29

(3)

Bをグラフに載せる。
交差するポイントがBがAに追いついた地点。
ゴール付近をピックアップする。

Bが到着した5分後にAが到着する。
B到着時に、Aは60×5=300m後方にいた

両者の差は1分あたり、90-60=30mずつ拡大していく
AとBが同じ場所にいた地点から300mの差が開くのは、
300÷30=10分後
?の距離は、90×10=900m
よって、駅からBがAに追いついた地点までの距離は、
2700-900=1800m


大問3(図形)

(1)
△ABE∽△BDEの証明。

共通角で∠AEB=∠BED
仮定より、∠BAE=∠CAE
弧CEに対する円周角で、∠CAE=∠DBE
∠BAE=∠DBEとなり、2角が等しく∽。
ⅰ…ウ、ⅱ…カ

(2)
前問の相似を利用する。

対応する辺がごちゃごちゃになったら、三角形を描いてみよう。
DE=7×7/8=49/8cm

(3)

ポイントは60°。
円周角定理で60°を移動すると、△BCEの内角はすべて60°で正三角形
1辺7cmの正三角形の面積を求めればいい。

縦に割ると1:2:√3の直角三角形。
高さは7×√3/2=7√3/2cm
7×7√3/2÷2=
49√3/4cm2

(4)

四角錘の体積=底面の四角形ABEC×高さPO÷3
高さPOは球Oの半径=円Oの半径に相当する

前問の解答をフル活用できる。
△ABCと△BCEは底辺がBCで共通するので、高さの比がAD:DE
ここから四角形ABEC:△BCE=AE:DE=8:49/8=64:49
四角形ABECの面積は、49√3/4×64/49=16√3cm2

円の半径も正三角形BCEを使う。
うえのように分割すると合同な二等辺三角形が3つできる。
それを二等分した△OFEは1:2:√3の直角三角形
FE=7÷2=7/2cm
半径OE=7/2×2/√3=7/√3cm
角錘P―ABECの体積は、16√3×7/√3÷3=112/3cm3

大問4(関数)

(1)
y=8/xにx=4を代入。A(4、2)
ABの中点が原点Oということは、Bは原点OについてAと対称。
B(-4、-2)

(2)
A(4、2)をy=ax2に代入。
2=42
a=1/8

(3)①

CAとy軸との交点をPとする。
△APOと△BDOにおいて、仮定よりAO=BO
CA//BDから錯角で∠PAO=∠DBO、対頂角で∠POA=∠DOB
1辺と両端角が等しく、△APO≡△BDO
△BDOの面積を①とすると、△APO=①、△CPO=②
合同でOP=ODだから、△CPOの高さは△BDOの高さの2倍
Bのx座標が-4なので、Cのx座標は-8。

y=1/8x2において、ー8≦x≦4のとき、
x=0のとき、最小値y=0
x=-8のとき、最大値y=8
0≦y≦8
ア…-8、イ…0、ウ…8



△ACEの3辺の和を最小にする。
辺ACの長さは固定なので、辺AE+辺ECの長さを最小にすればいい
Cをx軸について対称移動させたC’(-8、-8)とA(4、2)を結ぶ。

C’⇒Aは右に12、上に10移動するので、傾きは10/12=5/6
C’から右に⑥、上に⑤移動してE座標。
⑤が8だから、Eのx座標は-8+8×⑥/⑤=
8/5


大問5(確率)

(1)
6枚の中から表が出た2枚を選ぶ。
62=15通り

(2)
表0枚⇒1通り
表1枚⇒61=6通り
表2枚⇒前問の15通り
表3枚⇒63=20通り
表4枚⇒裏となる2枚を選ぶので表2枚と同じ15通り
表5枚⇒裏となる1枚を選ぶから6通り
表6枚⇒1通り
(1+6+15)×2+20=64通り

(3)①
aが平方数になれば、ルートが外れて整数になる。
■表が1枚
1、4、9
■表が2枚
1×4、1×9、2×8、4×9
以上、7通り。


すんごく大変です(-_-;)
あてずっぽうでは困難なので、まずは素因数分解。
1=1
2=2
4=2×2
6=2×3
8=2×2×2
9=3×3

平方数にするためには、素因数2か3を偶数個にする
3の素因数は9が2つだが、6は1つしかないので奇数個になってしまう。
→6は絶対使えない

■表が3枚
1×2×8、1×4×9(表2枚の2×8と4×9の組み合わせに×1を追加)
2×4×8、2×8×9
■表が4枚
1×2×4×8、1×2×8×9
2×4×8×9
■表が5枚
1×2×4×8×9

忘れてはならないのが、すべて裏の場合はa=0となり、√0=0で整数である
全部で、7+4+3+1+1=16通り
確率は、16/64=1/4

大問6(規則)

(1)

実際に2つ目とばしで書いてみるとイしかない。
ア・ウは点が偶数個なので、正多角形になってしまう。

(2)

2xは360°を7等分したうちの3個分。
3:7=2x:360
内項と外項の積で、
7×2x=3×360 ←両辺を÷2
7x=540
①…
3、②…540

(3)

前問の7個の場合を考えてみよう。
円を7等分した場合、左が4個分で右側が3個分であった。
円をn等分した場合、4個分とn-4個分に分かれる
先ほどの比例式のように計算すると、
【n-4:n=2x:360】
n×2x=(n-4)×360
nx=180(n-4)
先端部分のn個の角の和は、180(n-4)°となる。

@余談@
m点ごとに結んだ星形n角形の先端部分の角の和は、180(nー2m)°になる。

(4)

星形多角形はどんなときに作られるか。
1つ目ごと、2つ目ごと…で整理すると以下のようになる。

◆5等分
1つ目ずつ(隣同士を結ぶ)では正五角形になるので1は×。
4つ目ずつはスタートの点の隣になってしまうので、〇等分-1も×
(1つ目ずつを反時計回りで結んだら、4つ目ずつは時計回りに1つ目ずつ結ぶのと同じ)
2つ目ずつと3つ目ずつはOK。両者は同じ星形。
◆6等分
先の同じ理由で1と5は×。
2と3は6の約数なので1周するとすべての点を通過せず、正多角形になってしまう×。
4つ目ずつで試してみると、4→2(8)→6(12)で正三角形になってしまう。
4がダメなのは、6と同じ共通の約数(公約数)2を含んでいるからである。
公約数があるとすべての点を通過しない。(公約数2であれば偶数番目の点だけ)
◆7等分
1と6は×!
2・3・4・5と7は互いに素で公約数を持たない。どれでもOK!
また、真ん中を縦線で仕切ると、線対称で同種の星形がペアにあらわれる

8等分と9等分はこのような感じになる。
つまるところ、半分だけを調べればいい

1~12までのうち、1と12は×。
24と公約数をもつ数を消していくと5・7・11しかない。
よって、星形正二十四角形は3種類ある。

@@@@@@
では、先端部分の角が最も小さくなるときはどういう星形か?

角度が尖がる星型は、先端の角を円周角としたとき、それに対する弧が短い。
弧が短くなるのは、対称の軸である真ん中のラインに近いものである。
24等分であれば、11(と13)のペア。


24番目から反時計回りに進むとする。11個目ずつに結ぶと…
11→22→9(=22+11-24)
弧は9番目と11番目、すなわち、弧2個分である。

中心角は360×2/24で、この円周角だから半分にする。
先端部分の角は、360×2/24÷2=15°

2020年度 浅野中学過去問【算数】大問5解説

浅野中学でも星形多角形が出題されました。
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