2020年度 奈良県公立高校入試問題【数学】解説

平均25.4点(50点満点;前年比-1.8点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)-74.6%

(1)① 99.3%
5-8=-3

② 96.1%
-4×(-3)2
=-4×9=-36

③ 78.0%
(4a3b+6ab2)÷2ab
=4a3b÷2ab+6ab2÷2ab ←分配法則
=2a2+3b

④ 91.0%
(x+y)2-5xy
=x2+2xy+y2-5xy
=x2-3xy+y2

(2) 63.2%
絶対値が4より小さい→4は含まない!!(`ω´)
-3・-2・-1・0・1・2・3
7個

(3) 86.6%
2+5x+2=0
因数分解できないので、素直に解の公式を適用。
x=(-5±√17)/2

(4) 84.1%
xとyの積が12で一定→y=12/a
A=12÷(-2)=-6

(5) 71.1%
円錐の側面積にあたる扇形の中心角…【360°×半径/母線
x=360×5/12=150°

(6) 43.7%
ア:5÷31=0.161…〇
イ:階級の幅は2.0℃。×
 12.0℃は最大値36.0℃と最小値24.0℃の差で範囲(レンジ)にあたる。
ウ:28.0℃以上は5+7+5+5=22日×
エ:最頻値(モード)は26.0~28.0の階級値である27.0℃。〇
オ:30.0℃~32.0℃の階級値は31.0℃。×
よって、ア・エ。

(7)① 82.8%
5個の玉から2個を取り出す組み合わせ→52=10通り
奇数は3個、偶数は2個。それぞれから1つずつ取り出す→3×2=6通り
p=6/10=3/5

② 79.7%
5個の玉から2個を取り出す。
赤玉は3個、白玉2個。それぞれから1つずつ取り出す。
・・・さっきと一緒(σ’д’)σ
よって、pとqは同じ値となる。ウ

(8)① 75.6%
Aは10x+y。
これの逆なので、Bは10y+x。

② 58.6%
連立方程式。
『BはAより36小さい』→A-B=36

x=2y …①
A-B=(10x+y)-(10y+x)
=9x-9y=36 …②
②の項をすべて÷9して、x-y=4…③

①を③に放り込む。
2y-y=4
y=4
①より、x=2×4=8
したがって、Aの値は84。

大問2(平面図形)-32.4%

(1) 65.5%
典型的な作図パターンではないので、まずは図形を読解すること!
点Cを作るにはAEの長さをとりたい。
→Eの場所を特定。
→Eは正方形ABEFの頂点。∠ABE=90°とAB=BEを用いる。

①Bを通る、直線ABに垂直な線分
②Bを起点にBA=BEで点Eを特定。
③AEの長さをとって、BCに
長さを移す。

(2)① 55.8%
A判の話なので、図1・2だけ見る。
A0判の縦がa。縦:横=1:√2なので、横は√2a。
A1判の短い辺はこの半分で、√2/2acm。

② 43.8%

A0判の面積を1とすると、A1判の面積は1/2、A2判は1/4…
A3判は1/8となる。
a×√2a×1/8=√2/8a2
cm2

(3)① 9.6%!
A3判とB3判における、短い辺の長さの比。
問題文の一番最後に、『A判とB判の数字が同じであれば、
A判の対角線がB判の長い方の辺の長さと等しい』とある。

↑図3の0判を3判に変えるとこうなる。
A3の短い辺を①とすると、長い辺は1:√2から〇√2。
三平方の定理から、A3の対角線は〇√3。
これがB3の縦となり、横:縦=1:√2より、
B3の横は、〇√3×1/√2=〇√6/2

A3の短い辺…①
B3の短い辺…〇√6/2
√6/2倍。これを√6=2.449として小数に直す。 
√6/2=2.449÷2=1.2245≒1.22倍

② 2.8%!!
今度はA3とB6の関係性を問う。
先ほど、A3の短い辺を①としたのでB6の短い辺を知りたい。

ポイントはA判もB判も辺の比が1:√2で、
番号が変わっても辺の比は1:√2が維持されるから、すべて相似形であるということ。
(たとえば、A5判とB8判はともに辺の比が1:√2で相似)

図2のA0をB3に修正。
すると、B6は左下の長方形にあたる。
紙は長い辺を半分の長さで切っていく。
B6の横は、〇√3÷4=〇√3/4

A3の短い辺…①
B6の短い辺…〇√3/4
√3/4倍。これを√3=1.732として小数に直す。
√3/4=1.732÷4=0.443=43.3%≒43%


大問3(関数)-44.7%

(1) 80.8%
C(-2、8)→A(1、2)
右に3、下に6なので、傾きは-6/3=-2
Aから左に1戻ると上に2→切片は4
y=-2x+4

(2) 61.6%
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
ア:(8-2)/(2-1)=6
もしくは、y=ax2の場合、xの値がp→qに増加するときの
変化の割合はa(p+q)で求められる。
ア:2×(1+2)=6
イ:2×(-2+0)=-4
ウ:2×(0+2)=4
エ:2×(-2+2)=0
よって、最も大きいのはア。変化の割合は6。

@別解@

グラフの傾きが最も急であるアが、最も変化の割合が大きい。

(3) 38.6%

描いてみる。
∠APO=45°ということは…

Aからx軸に向けて垂線、その足をQとする。
△APQの内角は45°-45°-90°で直角二等辺三角形
AQ=QP=2
高さ3cmで一括計算する。
よって、回転体の体積は、2×2×π×3÷3=4π

(4) 15.5%!
四角形APQCが平行四辺形となる。

AとCは座標が確定している。
Qがグラフ上の点で、PはQより右側のx軸上にある。

Qはグラフ上にいるので式を立てやすい。
Qのx座標をtとおいて
平行四辺形の性質からQの座標を知りたい。

平行線から2つの合同な直角三角形を描くとわかりやすい。
A→Cは左に3、上に6移動。
P→Qも左に3、上に6移動。
ここからQのy座標が6とわかる。
Q(t、6)をy=2x2に代入。
6=2t2
2=3
t>0より、t=√3
Q(√3、6)

Pのx座標はQのx座標より3大きいので、Pのx座標は3+√3。


大問4(平面図形)-29.7%

この図形どっかで見た記憶が・・|д・)
(1) 41.0%
△AFE∽△BCEの証明。

辺の情報がないので、2角にしぼる。
仮定より、∠AEF=∠BEC=90°
∠FAE=×、∠ACD=とおく。
△ADCにおいて、×=180-90=90°
△BCEにおいて、∠CBE=180-90-=90-×
2角相等→∽

@別解@

四角形FDCEに注目すると、∠FDC+∠CEF=180°から、
対角の和が180°なので円に内接することになる。
内接する四角形の内角は、その対角の外角に等しいので∠AFE=∠BCEが導ける。

(2) 31.6%!

急に中心Oがでてくる(´゚д゚`)
半径より△ABOは二等辺
弧ABの中心角である∠AOBさえわかればよいので、
この円周角にあたる∠ACBに狙いを定める。

前問の∽から対応する角が等しいので、∠ACB=∠AFE=a
中心角は円周角の2倍→∠AOB=2a
したがって、∠OAB=(180-2a)÷2=90-a°

(3)① 47.8%
1本の補助線をひけるかどうか(;`ω´)

DGがわかればAGがわかる。
そこで、DGを1辺とする三角形を探す

ズバリ、BGに補助線!(σ’д’)σ
△BDFと△BDGに注目
(1)の相似+弧CGに対する円周角で∠FBD=∠GBD
共通辺BDと直角を合わせ、一辺と両端角が等しく、△BDF≡△BDG
GD=FD=3cm
よって、AG=2+3+3=8cm

@別解@

ルートでもいける。
対頂角で∠BFD=
相似で∠ACB=、弧ABに対する円周角で∠BGD=
残りの角である∠FBD=∠GBDが導ける。

② 1.5%!!
円の面積なので半径が欲しい:(っ`ω´c):
本問の図をどうやって中心Oと関連付けるかがキーとなる。

Oから弦BCに垂線をひき、足をHとする。
△OBHと△OCHが斜辺(半径)と他の1辺OHが共通する直角三角形で合同。
→BH=
HC
BH=10÷2=5cm
中心Oから弦に向けて垂線をひくと、弦の中点を通る!】

弦AGでも同じことをする。
Oから弦AGに向けて垂線、足をIとおく。
IG=8÷2=4cm
ID=4-3=1cm

四角形IHDIは4つの角がすべて直角の長方形。
OH=1cm
△OBHで三平方→半径OB=√26cm
よって、円の面積は、√26×√26×π=
26πcm2

以下、公式の検査結果に基づいて書いています。
大問1
(2)絶対値が4より小さい整数の個数。
中1の初め頃に習うが正答率63%…誤答は6個が多く、0を除いたのか。
(3)解の公式できてる◎(
(5)扇形の中心角は71%。公式で一発だが、結構できてる方だと思う。
なぜ、360°×半径/母線になるかも押さえておきたい。
(6)階級の幅(イ)を選んでしまった人がいた。
(8)②誤答例→48。これはBの値。
大問2
A判・B判問題。初見の問題文をきちんと読解して思考する力が試された。
(2)計算はほぼ無いが、約半数が正答。
(3)応用問題ゆえ正答率は低かった。
与えられた図を修正して活用すると整理しやすいと思う。
誤答例;①√2/2、√2a②√2/8a
大問3
(2)ウを選んだ人が多かった模様。
(3)回転体の体積は4割の生徒が正解している。〇
(4)誤答例は3、(3、0)。3はQのx座標。
大問4
(1)証明問題。思ったより出来てた!
(2)中心を通らない図形で、中心が絡む角を求める。
角度の問題なので円周角の定理だろうと発想(´ω`).。0
(3)①補助線1本で命運が分かれる。
が、半分弱も正解したのはFDとDGが同じっぽく見えたからか?(‘ω’)
(4)弦と中心の関係性に気づけたか。他の解法ルートはあるのだろうか?
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