2019年度 滋賀県公立高校入試問題【数学】解説

平均38.1点

問題はコチラ→リセマムさん

大問1(小問集合)

(1)  84.5%
15-19=-4
すごい気温差だね(;`ω´)

(2)  73.5%
1/4a-5/6a+a
=5/12a

(3)  80.8%
連立方程式。代入法でもやりやすいかな?
x=3、y=-2

(4)  78.8%
√27+12/√3
=3√3+4√3
=7√3

(5)  71.4%
2x2+4x-7=x2-2
2+4x-5
=(x-1)(x+5)=0
x=-5、1

(6)  61.4%
14x2y÷(-7y)2×28xy
=14x2y÷49y2×28xy
=8x3

(7)  24.5%!
-28=-7x2
2=4
x=±2
y=ax2なので、y座標が同一のx座標は2つある!

(8)  33.0%!
a:青玉が出る確率は3/6=1/2
2回連続で出すので、1/2×1/2=1/4

b:青と白を出す。
青は1/2、白は1/3。(青白)(白青)の2通り。
1/2×1/3×2=1/3

:aとbを比較。
bの方が確率が高いのでイ。

(9)①  55.0%
△ABC∽△DBE(2角相等)
AB:BC=DB:BE
9:6=DB:3
BD=9×3÷6=9/2

②  3.8%!!
旧千葉の作図を彷彿させる(‘Д’)
二等辺三角形の底辺と平行な線分を引き、面積を半分にする。

AF:AB=1:√2にすればいい。
√2といえば…直角二等辺三角形の斜辺。

ABを斜辺とする直角二等辺を作図。

△1を移動すれば、F・Gがでてくる。
FとGはAから等距離にあるので、自ずとFG//BCとなる。

↑公式解答より。
①ABの垂直二等分線
②ABの中点を基準にB→①の線。交点が直角二等辺の頂角。
③Aから頂角の長さをとって、AB、ACに移動。交点がFとG。


大問2(標本調査)

(1)  81.6%
標本の選び方。
母集団が全校生徒なので、全校生徒からランダムに選ぶ→エ

(2)  53.1%
50個より多く持ってきた人は、30人のうち12人。
これは母集団でもわからないものとする。
485×12
/30=194人

(3)解答例:階級の幅を小さく設定した図2の方が、各階級の度数を詳しく調べることができ、
平均値が含まれる階級に最頻値がないことがわかる。  8.5%!
*図2の方が分布の特徴がよくわかる理由を、指定語句を使って述べる。
図1では平均値が含まれる階級の度数が最も多いが、
図2ではそうではない点は指摘しておきたい。
階級の幅を小さくするとバラツキの度合いを詳しく見られる。

(4)①  49.0%
ヒストグラムを使った推論問題。
平均値を5回出すのはさすがにしんどいので、中央値だけ求めてみよう。
30人の中央値は15と16の平均値
【Ⅰ…70 Ⅱ…50 Ⅲ…70 Ⅳ…50 Ⅴ…50】
B・C・Dの中央値は同じなので、A・EがⅠかⅢ。
Eの中央値は最頻値と平均値が同じ階級にあるとのことなので、
Ⅰはバラツキがあるから、山なりのⅢがE組となる。
よって、E組の最頻値が含まれる階級は60以上80未満。

②  25.4%!
前問より、ⅠがA組となる。
A組とD組の平均値は同じなので、A組の平均値を求めればいい。
階級値は階級の平均で計算。
10×6+30×6+50×2+70×5+90×8+110×3=1740
1740÷30=58

B・C・D組のヒストグラムがわからなくても出せてしまう(;’∀’)
一応、検討すると、B組はC組より範囲(レンジ)が小さい。
Ⅱ・Ⅳ・Ⅴのうち、唯一範囲が20-100であるⅤがB。
Ⅱ・Ⅳで60個以上の人が多いⅡがD。残りのⅣがC。

大問3(等式の変形)

(1)  15.8%!
コップのふちは直径9cmの円。
この11周分が円Oの円周に匹敵する。
9π×11=2πr
2r=99
r=99/2=49.5cm

(2)  
コップを9回転させてグルっと1周するので、
1回転では円周の9分の1を周る。
360×1/9=40°  29.3%!

コップの回転数mが増える→コップを多く回転させなければ1周しない。
1回転あたりの移動距離(弧SA)は短くなるので、中心角yの値は小さくなる。
y=360/mの反比例式を挙げて、mが大きくなるとyが小さくなる点を指摘する。
記号:イ  15.3%!

(3)  0.2%!!!
半径AOをxで表して算出。

△AOD∽△BOCから、xは○a-b。
AO(○a)をxで表すと、
x×a/(a-b)=a/(a-b
)・x

aπ×m=a/(a-b)・x×2π ←両辺からπ削除
am=2a/(a-b)・x ←両辺を×(a-b)/2a倍、左辺のaを約分。
x=m(a-b)/2

公式解答では、AB(x)=AO-BOであることから、
AO…AOを半径とする円周=コップのふち×回転数m
BO…BOを半径とする円周=コップのふち×回転数m
最後にAO-BOで算出している。

ちなみに、円錐を転がしたときの円錐の回転数は、
〔母線÷半径〕で求められます。


大問4(平面図形)

(1)  23.3%!

△ABEで三平方。
BE=√(2-x2

もしくは、△ECFが直角二等辺三角形なので、
斜辺EF=√2から、EC=1
BE=x-1となる。

(2)①  1.1%!!
PがBFの中点であることを証明する。
合同や相似以外の証明に慣れていないと書き方に迷うかも(;´Д`)


BEに補助線。ABもEFも正六角形の1辺なので同じ長さ。
S・Uは各々の中点なので、AS:SB=FU:UE
平行線と線分の比から、AF//SU//BE
△ABFに注目。すると、中点連結定理に出てくる形があり、
BP:PF=BS:SA=1:1→PはBFの中点となる。

②  6.5%!
正六角形全体の面積は40√3。
6つに分割すると正三角形になる。


この正三角形の1辺を求めればいい。
1辺をxとする。高さは√3/2・x。
x×√3/2・x×1/2=40√3÷6
2=80/3
x=4√15/3

③  0.7%!!!
ラスボス。
中にある2つの正三角形の他の交点も中点にある。

BDとSTの交点をQとする。
①と同じように考えると、QはBDの中点にある。

同様に、DFとTUの交点RもDFの中点にある。

辺BFにおいて、STとの交点はBFの4分の1。
正三角形BDFから★3つ分をひけば、斜線部の面積が出てくる。

△BDFは正六角形の半分。
左上の★の部分は、△BDF=⑧とおくと①に相当する。

40√3×1/2×5/8=25√3/2

@余談@

この形が見えたら一発ね! (σ゚∀゚)σ

全体を㉔とおくと斜線部分は〇7.5
40√3×7.5/24=25√3/2

@追記@
中学受験で同じ形がでてました。

正六角形の分割方法はいくつか覚えておいた方がいいかもしれません。

ヒストグラムでは80点以上が見えないのだが(*’ω’*)w
数ミリあるのかな?
コップコロコロ問題は、なかなかのいやらしさ。
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