2019年度 三重県公立高校過去問前期【数学】解説

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大問1(計算)

(1)
-18÷32
=-18÷9=-2

(2)
4(x-1)+3(x-2)
=4x-4+3x-6
=7x-10

(3)
6xy÷(-2x)2×(-12x2y)
=6xy÷4x2×(-12x2y)
=-18xy2 
ここで代入
=-18×(-2)×(
1/3)2
=4

(4)
x+y=5、x+2y=4
連立を組んで解くと、x=6、y=-1
-1=6a+1
a=-1/3

(5)
(√5+2)(√5-7)-5/√5
=5-5√5-14-√5
=-9-6√5

(6)
(x-5)(x+2)=-10
2-3x=x(x-3)=0
x=0、3

(7)
良問ですな( ˘ω˘ )
aが正、bが負で、a+bが負ということは、
絶対値でいえば、│a│<│b│
a=2、b=-50と適当な値を入れて計算するのも良い。
b-a<b<-a<a<-b<a-b

(8)
A組の生徒数をx人とおく。B組の生徒数は70-x人。
81x+88(70-x)=84.4×70
81x+6160-88x=5908
x=36 →36人

(9)
135°の作成。
135=90+45
①AOを延長して180°を作成。
②Oを通るAOに垂直な線分を作成。
③Aと反対側の90°を二等分する。
二等分線と孤ABとの交点がCとなる。

大問2(標本調査・確率)

(1)①
4/25=0.16
*相対度数は分数ではなく、小数であらわす。


ア+イ=25-(3+5+4+1)=12
最頻値はイの階級にあるので、アは5以下でなければならない
(6だとア・イが同数となるので)

25人の中央値は、(25+1)÷2=13番目の値。
もし、アが4だと13番目が22~26の階級になってしまう→4以下ではダメ。
よって、アは5となる。
イ:12-5=7
ア…5、イ…7(完全解答)

(2)①
6つから3つを選ぶ→63=20通り

↑正三角形は赤と青の2通りしかない。
2/20=1/10


二等辺三角形を探す。

わかりにくくて申し訳ない(^^;
正六角形の隣同士の2辺で二等辺を作る
頂角がA・B・C・D・E・Fと6つなので、合計6つ。
前問の正三角形を合わせて8つ。
8/20=2/5


大問3(数量変化)

(1)
Pは3cm、Qも3cm移動。
3×3×1/2=9/2cm2

(2)
4≦x≦8のとき、PはAB上、QはCD上を動く。

に変わる。
高さが変わらない。底辺だけ長くなる。
AP=xcmなので、
y=x×4÷2=2x
y=2x

(3)
0≦x≦4のとき、底辺APと高さQBがともに増加するので、
△APQの面積は倍々に増えていく→放物線

4≦x≦8のとき、前問から底辺だけ増加するので直線で上がる。
8≦x≦12のとき、底辺が短くなるので面積は減っていく。
減り具合は4≦x≦8のときに増加した変化の割合と同じ。

(4)
長方形の面積の6分の1になので、
△APQの面積:8×4÷6=16/3cm2
y=16/3のときのxの値が答えとなる。

ここで先ほどのイのグラフを拝借。
16/3は5ちょいなので、横線をひくと交点が1つしかない。
この点のx座標を求める。

0≦x≦4の放物線y=ax2は(4、8)を通るから、
8=16a
a=1/2
y=1/2x2

1/2x2=16/3
2=32/3
x=√32/√3=4√6/3

(5)
完全解答で配点は2点(; ̄Д ̄)ェェ
区切りの良いところで分け、調べてみる。

0~4は直角ができなさそう。。

PがQの真下にくると1つ目の直角。
Qが進んだ距離はPと同じxcm。
QC=PB=
x-4cm
x+(x-4)=8
x=6

(2)でも出てきた。x=8のときは直角二等辺三角形になる。

最後も直角二等辺になる。
よって、x=6、8、12

大問4(立体&整数)

(1)
『底面の直径が高さと等しい円柱』なので、

円柱の底面の半径は6÷2=3cm
図2の球を円柱にスポッといれると内接する
円柱の体積…3×3×π×6=54πcm3

球の体積…4/3πr3
=4/3π×33=36πcm3
よって、54π-36π=18πcm3
*円柱の体積を2/3倍すると球になる。

(2)①
完全解答。
2+2+2+2=8
2+2+2-2=4
2+2-2-2=0
2-2-2-2=-4
-4、0、4、8


最大値…全部+⇒aがn個あるから、an。
最小値…全部-⇒a-a-a-a-a…
-aはn-1個ある
はじめのaから、-a(n-1)とひく。
a-a(n-1)=-an+2a

したがって、an-(-an+2a)=2an-2a


完全解答。
2an-2a=50 ←両辺を÷2
an-a=25
a(n-1)=25

a×(n-1)すると積が25になる。
aとnは自然数なので、
a、n-1の組み合わせは、(1、25)(5、5)(25、1)のみ。
a=1、5、25
(*nの値はそれぞれ26、6、2となる。
a=25、n=2であれば、25+25=50、25-25=0、50-0=50)

大問5(平面図形)

(1)
△BFH≡△GFEの証明。

対頂角は等しい。BH//CGから錯角。

合同の証明なので、3辺のうちいずれかの辺の長さが等しい点を指摘しなければならない
そこで、公式解答の例1は、FがADの中点であることから、△AFH≡△DFEを経由している。
この2つの三角形は一辺両端角が等しいので合同。
ここから対応する辺FH=FEが得られ、一辺両端角から△BFH≡△GFEとなる。

例2は、平行四辺形ABCDに着目をしている。
対辺でFD//BC。
FがADの中点にあるので、FDがBC(平行四辺形の横)の半分にあたる。
中点連結定理の逆からFがGBの中点にあり、GF=BFが導ける。
*中点連結定理の逆…三角形の 2 辺の上に端点を持つ線分が、残りの 1 辺と平行かつ長さがその辺の半分となるとき、線分の端点は各辺の中点になる。

(2)①
先ほどの合同証明の例1で、△AFH≡DFEに言及したが、
同じことが△DGF≡△ABFにも言える。

↑一辺両端角より合同。
△ABFの面積を求めればいい。
平行四辺形ABCDが6cm2で、対角線BDで区切ると、
△ABD=3cm2
FはADの中点だから、△AFB=3÷2=3/2cm2
△DFG=3/2cm2


△DFEと△BCIの面積が等しい。
底辺の比FD:BC=1:2なので、高さの比を2:1にすればいい。

高さの比はFB上で考える
△BCIの高さの比を□1とおくと、△DEFの高さの比は□2。
EはDCの中点なので、Eを通るBCに平行線をひくと、
FB上で□2は上のようになる。

FはBGの中点(△GFD∽△GBC、または先ほどの中点連結定理の逆)だから、
BI:IG=1:7


前問のクリアがほぼ前提。

BC=4cm
平行四辺形ABCDの高さは、6÷4=3/2cm
前問の高さの比から、BI:IF=1:4なので、
△BCIの高さは、3/2×1/4=3/8cm

回転体の体積は、底面の半径が3/8cmで高さ4cmの円柱に等しい。
3/8×3/8×π×4×1/3=3/16πcm3

4(2)が特徴的で面白かった。
5(2)②は複雑な計算処理はないけど、
情報をきちんと図に書きこまないと見えてこない。

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