2024年度　神奈川県公立高校入試問題（追検査）過去問【数学】解説

＊かなりの高難易度です。
問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（ア）
７－（－12）
＝７＋12
＝19　【４】

（イ）
－２/７＋３/５
＝11/35　【３】

（ウ）
54ａ²ｂ×３ｂ÷９ａｂ
＝18ａｂ　【３】

（エ）
（３ｘ－ｙ）/２－（２ｘ＋４ｙ）/３
＝｛３（３ｘ－ｙ）－２（２ｘ＋４ｙ）｝/６
＝（９ｘ－３ｙ－４ｘ－８ｙ）/６
＝（５ｘ－11ｙ）/６　【１】

（オ）
（３＋√５）（３－√５）－６（１－√５）
＝９－５－６＋６√５
＝－２＋６√５　【２】

大問２（小問集合）

（ア）
（ｘ－３）²－４（ｘ－３）－32　←Ｘ＝ｘ－３とおく
＝Ｘ²－４Ｘ－32
＝（Ｘ－８）（Ｘ＋４）　←Ｘ＝ｘ－３を戻す
＝（ｘ－３－８）（ｘ－３＋４）
＝（ｘ－11）（ｘ＋１）　【１】

（イ）
４ｘ²＋６ｘ＋１＝０
解の公式を適用。ｘの係数が偶数なのでｂ＝２ｂ’が使える。
ｘ＝（－３±√５）/４　【１】

（ウ）
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値が２→４に増加するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）。
ａ（２＋４）＝４
ａ＝２/３　【４】

（エ）
小さい正方形の１辺をｘとすると、大きい正方形の１辺はｘ＋９。
ｘ²＋（ｘ＋９）²
＝２ｘ²＋18ｘ＋81＝305
２ｘ²＋18－224＝０　←÷２
ｘ²＋９ｘ－112
＝（ｘ－７）（ｘ＋16）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝７　【３】

（オ）
扇形の中心角が知りたい。
半径９ｃｍの円周は18πｃｍ。
弧の長さが２πｃｍなので、扇形は２π/18π＝１/９円である。
扇形の面積は、９×９×π×１/９＝９πｃｍ²　【２】

＠余談＠

扇形の面積は、弧の長さ×半径÷２で求めることができる。
とある界隈ではスーパー三角形というそうな( ´д)ﾋｿ(´д｀)ﾋｿ(д｀ )
理屈は円の面積の公式と同じで、扇形を細かくスライスして互い違いに並べると、
縦が半径、横が弧の半分の長さである長方形になるから。

（カ）

６√10/√ｎが整数となるには、ｎ＝10で√10を約分する。
また、√ｎが６の約数を含む場合も分母を消せる。
ということは、ｎ＝10×（６の約数の平方数）となる。
６の約数は４個なので、ｎは４個。
（*具体的にいうと、ｎ＝10×１²＝10、10×２²＝40、10×３²＝90、10×６²＝360の４個）

大問３（小問集合２）

（ア）ⅰ
△ＡＢＦ∽△ＢＣＥの証明。

弧ＢＤに対する円周角より、∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ（●）
ＤＣ//ＢＥの錯角で、∠ＢＣＤ＝∠ＣＢＥ（●）
よって、∠ＢＡＦ＝∠ＣＢＥ

仮定より、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＤ
∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＣＢＥ（●）
∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ－∠ＢＣＤ（●）
よって、∠ＡＢＦ＝∠ＢＣＥ（×）
２角が等しいので∽。
ａ…【３】、ｂ…【４】

ⅱ
もう難問が。。
 
弧ＡＣに対する円周角で∠ＡＢＣを移すと、
∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤとなり、△ＡＤＣは二等辺三角形。

ＦＥ//ＤＣと二等辺の対称性から、
ＡＦ＝ＡＥ＝９ｃｍ、ＦＤ＝ＥＣ＝３ｃｍ
△ＡＦＥ∽△ＡＤＣより、ＦＥ＝８×９/12＝６ｃｍ

最終的に△ＣＥＧの面積を求めたい。
面積を出すには高さが必要なので、二等辺ＡＦＥを二等分するＡＨをつくり、
△ＡＦＨで三平方→ＡＨ＝６√２ｃｍと求めておく。

いったん、方針を立てる。
△ＥＧＣの面積にはＧの位置を特定しなければならない。
Ｇに関わる相似は△ＢＥＧ∽△ＣＤＧ。
ＣＤに対応するＢＥの長さを知るにはＢＦが必要。
また、ＢＦがわかれば△ＡＢＦの面積が求まり、前問より相似である△ＢＣＥの面積もでるはず。

そこで、ＢＦに狙いを絞ってこれをｘとする。
△ＡＢＦ∽△ＢＣＥより、ＡＦ：ＢＦ＝ＢＥ：ＣＥ
９：ｘ＝（ｘ＋６）：３
内項と外項の積より、ｘ（ｘ＋６）＝27
ｘ²＋６ｘ－27
＝（ｘ＋９）（ｘ－３）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝３
ＢＦ＝３ｃｍということは、△ＡＢＦ≡△ＢＣＥである。
△ＡＢＦ＝△ＢＣＥ＝３×６√２÷２＝９√２ｃｍ²

△ＢＥＧ∽△ＣＤＧより、ＢＧ：ＧＣ＝⑨：⑧
△ＣＥＧの面積は、９√２×⑧/⑰＝72√２/17ｃｍ²

（イ）ⅰ

経験年数なのでヒストグラムを見る。
20人の中央値は10番目と11番目の平均。
３～４年の階級に含まれる。　【３】

ⅱ
選択肢が込み入っている(;´Д｀)

データを昇順に並べる。
（以下、中央値…Q2、第１四分位数…Q1、第３四分位数…Q3と記す）
●３年未満
【２・３・４・５・５・５・６・９・10】９人
最小値…２、最大値…10、Q2…５、Q1…3.5、Q3…7.5、最頻値…５
●３年以上
【３・３・４・４・５・５・６・８・８・８・９】11人
最小値…３、最大値…９、Q2…５、Q1…４、Q3…８、最頻値…８

【ａ】
中央値は５で等しく、最頻値は３年以上が大きい。
平均値の算出には時間がかかるが、中央値が違うので平均値と最頻値の組み合わせである。
ここから１～３に絞る。
【ｂ】
１：最大値は３年未満の方が大きい。×
２：Q1・Q3ともに３年以上の方が大きい。〇
３：５本以上は３年未満が６/９、３年以上が７/11で３年未満の方が割合が大きい。×
【２】

（ウ）ⅰ

四角形ＡＢＣＤは等脚台形。
上底６ｃｍを下におろし、対称性から左右は（22－６）÷２＝８ｃｍ
赤線の直角三角形は辺の比が３：４：５→等脚台形の高さは６ｃｍ
△ＡＢＰの面積は、４×６÷２＝12ｃｍ²　【２】

ⅱ
６≦ｘ≦16のときの式を求める。

ＰがＤにあるｘ＝６のとき、ｙ＝６×６÷２＝18
ＰがＣにあるｘ＝16のとき、ｙ＝22×６÷２＝66
（６、18）→（16、66）
右に10、上に48だから、傾きは48/10＝24/５
【５】ｙ＝24/５ｘ－54/５、【６】ｙ＝24/５ｘ＋18に絞られる。
ｘ＝６を代入するとｙ＝18になる【５】。

（エ）

ＡＤ//ＢＣから、∠ＡＤＣ＝90°
∠ＡＦＣ＝∠ＡＤＣ＝90°に着目する。
直径に対する円周角は直角→直径をＡＣ、中心をＥとする円を描くと、
４点Ａ・Ｆ・Ｃ・Ｄは同一円周上にある。
半径からＡＥ＝ＦＥ＝ＣＥ＝ＤＥ
さらに、ＡＤ＝ＡＦ、共通辺ＡＣと合わせると、
斜辺と他の１辺が等しい直角三角形ゆえ△ＡＤＣ≡△ＡＦＣ

二等辺ＥＣＤと合同→∠ＥＤＣ＝∠ＥＣＤ＝∠ＥＣＦ＝34°
二等辺ＥＡＤと合同→∠ＥＤＡ＝∠ＥＡＤ＝∠ＥＡＦ＝90－34＝56°

∠ＦＣＢ＝90－34×２＝22°
ここで、△ＢＡＣに着目すると∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝56°（錯角の∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＢ＝56°でもOK）
Ｅは二等辺三角形の底辺ＡＣの中点だから、ＢＥ⊥ＡＣがいえる。

∠ＢＦＣ＝∠ＢＥＣ＝90°から、直径をＢＣとする円を描くと、
４点Ｂ・Ｃ・Ｅ・Ｆは同一円周上にある。
弧ＢＦの円周角より、∠ＢＣＦ＝∠ＢＥＦ＝22°

大問４（関数）

（ア）
ｙ＝１/６ｘ＋５にｘ＝－６を代入→Ａ（－６、４）
これをｙ＝ａｘ²に代入。
４＝36ａ
ａ＝１/９　【１】

（イ）

Ｂはｙ軸についてＡと対称→Ｂ（６、４）
ＡＣ：ＣＢ＝１：２から、Ｃ（－２、４）
ｙ＝－１/５ｘ²にｘ＝－５を代入→Ｄ（－５、－５）
ＣとＤのｙ座標から、ＣＦ：ＦＤ＝④：⑤
ｘ座標の差３＝⑨なので、⑤＝５/３
Ｆのｘ座標は、－５＋５/３＝－10/３

Ｆ（－10/３、０）→Ｂ（６、４）
ｘの増加量は10/３＋６＝28/３、ｙの増加量は４。
傾き（変化の割合）は、４÷28/３＝３/７
Ｆから右に10/３、上に10/３×３/７＝10/７移動すると切片。
ｙ＝３/７ｘ＋10/７
ⅰ…【１】、ⅱ…【４】

（ウ）
最初の発想で決まる。

Ｅ（４、－16/５）
四角形ＣＤＧＨと四角形ＢＨＧＥが等積。
整数値が多いが、直線の式やＧ座標を求めようとすると分数が出てくる。
ＤＧ＝ＧＥを活用する方法はないか。

ＨＤ、ＨＥに補助線。
△ＨＤＧと△ＨＥＧは底辺と高さが等しいから等積。
ということは、残りの△ＣＤＨと△ＢＥＨも等積である。
高さの比は、△ＣＤＨ：△ＢＥＨ＝（５＋４）：（16/５＋４）
＝９：36/５＝５：４
底辺の比は逆比で、ＣＨ：ＨＢ＝④：⑤
６－（－２）×④/⑨＋（－２）＝14/９

大問５（確率）

（ア）
操作２でＰの面積が決まる。
ａｂ＝６の組み合わせは、（ａ、ｂ）＝（１、６）（２、３）（３、２）（６、１）
全体は６×６＝36通りだから、確率は４/36＝１/９

（イ）
Ｑが最も大きくなる。

Ｑ＞Ｒとなるには、ＢＦが6.5ｃｍを超えなければならない。
ａとｂは自然数だから、ａ＋ｂ≧７である。

Ｑ＞Ｐとなるには、ＡＧが2.5ｃｍ未満でなければならない。
ＡＧは長方形ＡＧＨＥの縦の長さだから、ＡＧ＝ａｂ/（ａ＋ｂ）＜2.5
２つ目の式：ａｂ/（ａ+ｂ）＜2.5の両辺を（ａ＋ｂ）倍すると、
ａｂ＜2.5（ａ＋ｂ）
ａ＋ｂの最小数７を代入して、ａｂの範囲を絞る。
ａｂ＜2.5（ａ＋ｂ）＝2.5×７＝17.5

まとめると、
ａ＋ｂ≧７　…①
ａｂ＜17.5　…②
以上の条件を満たすａ、ｂの組み合わせを調べる。
（ａ、ｂ）＝（３、４）（３、５）（４、３）（４、４）（５、２）（５、３）（６、１）（６、２）
計８通り、確率は８/36＝２/９

大問６（空間図形）

（ア）

底面は１辺６ｃｍの正方形、側面は１辺６ｃｍの正三角形。
正四角錘の表面積は、６×６＋６×３√３÷２×４＝36＋36√３ｃｍ²　【６】

（イ）
試験時間内では無理→△（コメ欄から助けを得ました。後述します）

△ＢＣＧで三平方→ＧＣ＝２√13ｃｍ
△ＦＧＣの高さを求めたいが、面ＦＧＣが斜めに傾いているので至難。

点Ｆを含む面ＡＥＣに着目してみる。
△ＡＥＣは等辺が６ｃｍの直角二等辺三角形（△ＡＢＣと３辺が等しく合同）。
△ＡＢＣは辺の比が１：１：√２→ＡＣ＝６√２ｃｍ
対角線ＡＣの半分である３√２ｃｍが正四角錘の高さにあたる。
Ｆから垂線をおろし、足をＨとすると、ＦはＡＥの中点だからＦＨ＝３√２/２ｃｍ

ＣＦを延長、Ａの真上をＩとする。
図形を真上から眺めると、ＩＦ：ＦＣ＝①：③
△ＦＨＣ∽△ＩＡＣより、ＩＡ＝３√２/２×④/③＝２√２ｃｍ

ＣＧを延長、Ａからおろした垂線との交点をＪとする。
今度は図形の底面に注目する。
△ＡＧＪ∽△ＣＧＢより、ＡＪ＝２×６/２√13＝６/√13ｃｍ

ＩＪを結ぶ。
ＡＪ⊥ＪＣ、ＩＡ⊥ＡＪ→面ＩＡＪ⊥ＪＣ→ＩＪ⊥ＪＣ。
△ＩＡＪで三平方→ＩＪ＝√140/√13＝２√35/√13ｃｍ
これを③/④倍すると、念願の△ＦＧＣの高さが求まる。
△ＦＧＣの面積は、２√13×（２√35/√13×③/④）÷２＝３√35/２ｃｍ²
＊正直、正規ルートなのか自信ありません。
良い解法を見つけた方は、コメント欄かお問い合せよりお知らせ願います。

＠別解＠
コメ欄にてピヨさんから素晴らしい指摘がございました。
△ＦＧＣの３辺の長さを求めます。

ＣＧ＝２√13ｃｍ、ＦＨ＝３√２/２ｃｍまでは先ほどと同様です。
△ＡＥＣは直角二等辺→△ＦＡＨも直角二等辺です。
ＡＨ＝３√２/２ｃｍ
ＨＣ＝ＡＣ－ＡＨ＝６√２－３√２/２＝９√２/２ｃｍ
△ＦＨＣで三平方→辺の比は①：③：〇√10なので、ＦＣ＝３√２/２×〇√10＝３√５ｃｍ

△ＥＡＢは正三角形→∠ＥＡＢ＝60°
Ｆから垂線をおろし、足をＩとします。
△ＦＡＩは１：２：√３の直角三角形なので、ＡＩ＝３/２ｃｍ、ＦＩ＝３√３/２ｃｍ
ＩＧ＝２－３/２＝１/２
△ＦＩＧで三平方→ＦＧ＝√７ｃｍ
 
三角形の３辺がわかれば、Ｆから垂線をおろし、左右で三平方の方程式を立てると高さもわかるのですが、
根号の中身が違うので気づきにくいですけど、結論からいうとＧＦ²＋ＦＣ²＝ＧＣ²が成り立ちます。
（√７）²＋（３√５）²＝52＝（２√13）²
三平方の定理の逆より∠ＧＦＣ＝90°なので、３√５×√７÷２＝３√35/２ｃｍ²
公立高校入試解説ページに戻る