2022年度 大阪府公立高校入試B問題過去問【数学】解説

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2022年度・大阪(数学)A問題C問題の解説はコチラ。

大問1(計算)

(1)
18-(-4)2÷8
=18-16÷8
=18-2
=16

(2)
2(5a-b)-3(a+6b)
=10a-2b-3a-18b
=7a-20b

(3)
14ab÷7a2×ab
=2b2

(4)
(x+1)(x-1)-(x+3)(x-8)
=x2-1-(x2-5x-24)
=x2-1-x2+5x+24
=5x+23

(5)
(√6-√2)2+√27
=6-2√12+2+3√3
=8-4√3+3√3
=8-√3

大問2(小問集合)

(1)b=(5a+4)/7 …両辺×7
7b=5a+4 …移項
5a=7b-4 …両辺÷5
a=(7b-4)/5

(2)
2x2-3x-1=0
解の公式を適用して、
x=(3±√17)/4

(3)
平均値a…(2×1+3×4+4×3+5×2+6×1+12×1)÷12=54÷12=4.5冊
最頻値b…最もあらわれている値で3冊。
中央値c…12人のメジアンは6番目と7番目の平均で4冊。
b<c<a

(4)
2枚の取り出し方→3×4=12通り
20の約数は【1・2・4・5・10・20】
◆1→ない
◆2→(1、1)
◆4→(1、3)(3、1)
◆5→(2、3)
◆10→(3、7)
◆20→ない
計5通りで、確率は5/12。

(5)
最も小さい整数をnとすると、連続する3つの整数はn、n+1、n+2。
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3=2022
n=673

(6)

孤BCに対する中心角より、∠BOC=2a
△OCDで外角定理→∠CDO=2a-b°

(7)
4<√n<5 ←すべて2乗して根号を外す
16<n<25 …①

√(6n)が自然数→6nが平方数で根号が外れる。
nは〔6×平方数である。
n=1→6×12=6
n=2→6×22=24
①の範囲にあるのはn=24

(8)
答案では途中式を含めた求め方も書く。
手順どおりに機械的に処理していく。

y=1/2x2にx=3を代入、A(3、9/2)
CB=9/2だから、Cのx座標は3-9/2=-3/2

y=1/2x2にx=-3/2を代入、D(-3/2、9/8)
y=ax2にx=-3/2を放り込んで、E(-3/2、9/4a)
DE=2だから、9/8-9/4a=2 ←8倍
9-18a=16
a=-7/18
(*a<0の条件に適合する)

大問3(関数)

(1)①
15が足される回数はあいだの数、つまり、(x-1)回である
x=4のとき、y=320+15×(4-1)=365
x=8のとき、y=320+15×(8-1)=425
ア…365、イ…425


規則を一般化する。
y=320+15(x-1)
y=15x+305


先ほどの式にy=620を代入する。
620=15x+305
x=21

(2)
コーンA;y=15s+305
コーンB;y=150+10(t-1)=10t+140

コーンAとコーンBの合計が39個だから、s+t=39 …①
高さが同じ⇒yの値が等しいので、15s+305=10t+140 …②

①、②の連立を解けばよいが、処理が面倒くさい(´д`)
②を整理すると、10t-15s=165 …③
①×10-③でs=9
①に代入してt=30
sの値…9、tの値…30

@別解@
こういう面倒な方程式をみると、どうにか回避できないものかという衝動に駆られる…。
増加分はコーンの個数のあいだの数なので、あらかじめAとBを1個ずつ置いておく
残りは合計37個。
AとBの差は、320-150=170cm
高さを同じくするため、170÷10=17個のBを積む。

積み上げる高さが等しくなるように、残り20個を配分する。
増加する長さの比はA:B=15:10=3:2
積むべきコーンの個数は逆比でA:B=②:③
Aは20×②/⑤=8個積む。
最初の1個と合わせて、Aは9個。
Bの個数は、39-9=30個

大問4(図形)

(1)
△BCE∽△DFHの証明。

仮定より、∠CEB=∠FHD=90°
平行四辺形ABCDの対角と対頂角より、∠EBC=∠HDF
2角相等で∽。

(2)①
前問の相似を利用する。
FD:DH=CB:BE
5:2=6:BE
BE=2×6/5=12/5cm


 
△FGDの底辺をGDとすると高さはFH。
△FDHで三平方→√21cm

GDの長さを知りたい。
△FGDと相似にあたるのは△EGA

先ほどのBEを手がかりに、AE=7-12/5=23/5cm
△EGA∽△FGDより、相似比はAE:DF=23/5:5==AG:GD
GD=6×/=25/8cm
よって、△FGDの面積は、25/8×√21÷2=25√21/16cm2

(3)

ネジレ⇒平行ではない、かつ延長しても交わらない。
辺ADとネジレにあるのは辺EFと辺FB。
ウ・エ

(4)①

AD//IJ//BC。
Aを通るDCに平行な線をひき、IJ、BCとの交点とK、Lとする
平行四辺形は対辺が等しいから、AD=KJ=LC=3cm
BJ=7-3=4cm
△AIK∽△ABLより、IK=4×2/6=4/3cm
IJ=4/3+3=13/3cm



立体は四角柱⇒面ABCD⊥面FBCG。
面ABCD上にある△IBJを底面とすると、高さはFB=9cm
△IBJの面積さえわかればいい。

△IBJの高さが知りたい。
AB=DC=6cmの台形ABCDは左右対称な等脚台形である。
AD、IJの延長線にBから垂線をひき、交点をM、Nとする。
MA=(7-3)÷2=2cm
△MABで三平方→MB=4√2cm
△MAB∽△NIBより、NB=4√2×4/6=8√2/3cm
求積すべき立体の体積は、13/3×8√2/3÷2×9÷3=52√2/3cm3
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