2019年度 香川県公立高校入試問題【数学】解説

平均27.2点(最高…50点、最低…0点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
4-3×(-1)
=4+3=7

(2)
(3/4-2)÷5/6
=-5/4×6/5=-3/2

(3)
3a2b×4ab÷(-2b)
=-6a3

(4)
√12+√3(√3-6)
=2√3+3-6√3
=3-4√3

(5)
2x2-20x+50 ←両辺を2で割る。
=2(x2-10x+25)
=2(x-5)2

(6)
(xー3)(x+4)=-6
2+x-6=(x+3)(xー2)=0
x=-3、2

(6)
a=10b+5

大問2(図形集合)

(1)

円周角の定理から、∠AOD=35×2=70°
孤AD=孤DCなので、∠COD=70°
∠BOC=180-70×2=40°
∠BAC=40÷2=20°

(2)ア
面EFGHは直方体の底面。
これと垂直な線分は直方体の高さにあたる。ア
*ウ・エは面EFGHと平行。


△ABDは直角二等辺三角形。
1:1:√2から、AB=AD=√2cm
△ABFで三平方。BF=√7cm
√2×√2×√7=2√7cm3

(3)
:;(∩´_`∩);:
出来そうで出来ないもどかしさ・・。

△EBCに着目すると、5cm:12cm:13cmの直角三角形が見つかる。
○+×=90°と錯角を使い、角度を調査していく。
角度が○、×、90°となる三角形の辺の比はすべて5:12:13

本問の決め手はFH=9cmをうまく利用するものと思われる。
FHを一辺とする直角三角形が欲しい。

DAとCEを延長して、交点をJとする。
△JFHの内角から5:12:13
JH=9×12/5=108/5

△JAEも同様で5:12:13
JE=7×13/5=91/5

EH=108/5-91/5=17/5
HC=13-17/5=48/5cm
Gをガン無視したが、大丈夫だろうか?(;^ω^)

@余談@
(乂’ω’)ハっ └(‘ω’)┘ケン!!!!

Hから4本の直線が90°ずつ四方に伸びているので、
4つのパーツを配置転換させたら正方形ができました(*’ω’*)w

もとの正方形の面積は12×12で、5×5の正方形が空洞となります。
EC(うえの図形では横の辺)が13cmで、縦も13cm。
122+52=132で、ちゃんとピタゴラスが成り立ちますね。
FI=13cmとなり、HI=13-9=4cm
△IHCで5:12:13より、HC=4×12/5=48/5cm


大問3(小問集合)

(1)
x=-2、y=1を放り込んで、等式が成り立つものを選ぶ。
イとエ(2つ選ぶよ!

(2)
カードの取り出し方は、4×5=20通り

結果がA>Bとなるパターンを調査。
A2…B0・1
A4…B0・1・3
A6…B0・1・3・5
計9通り⇒9/20

(3)
7.0未満の度数の合計を求める。
Aは12人、Bは8人。
P…12÷80=0.15
Q…8÷40=0.2
*相対度数は分数ではなく、小数で求める。

Aの方が相対度数が小さい→イ

(4)ア
x=0のとき、最小値y=0
x=3のとき、最大値y=9
0≦y≦9


解答欄では過程も記述する。

Pのx座標をaとして、P・Q、Rの座標を求める。
Rのy座標はAと同じ。
②:y=x-1→A(-2、-3)
R(a、-3)

PQ=QR
2-(a-1)=a-1-(-3)
2-2a-1=0
Pのx座標は正の数なので、a>0より、a=1+√2

大問4(方程式)

(1)ア

↑この形が見えれば一発かと。
(3+7)×2=20枚
20cm2



3n=2{4+(n+1)}
3n=2n+10
n=10

(2)ア
午前10時に5個追加され、Aは3個検査して出荷するので、
2個増えている。


下線部について、等式を完成させる。
最初からあった製品+新たに供給された製品=検査した製品
最初からあった製品・・・x個
新たに供給された製品・・・5×21=105個
1日あたり、AとBは3個、Cはy個検査する。
1~7日目の検査…ABCの3人⇒7(6+y)個
8~21日目の検査(14日間)…BCの2人⇒14(3+y)個

x+105=7(6+y)+14(3+y)
x=21y-21


過程も記述する。
立式の方法は前問と同様。
11日間のうち、最初の3日間はABC、後半の8日間はBCDで行う。
Dは1日あたり、Cと同じy個の製品を検査する。
x+5×11=3(6+y)+8(3+2y)
x=19y-13

前問の答えと連立を組む。
21y-21=19y-13
y=4
いずかの式に代入して、x=63
x=63、y=4


大問5(図形の証明)

(1)
△BEH∽△BADの証明


が共通角。
∠BGE=∠BCA=90°
同位角が等しいので、EG//AC。
同位角で2角が等しい→∽

(2)
先に公式解答を引用(サボ解説はあとで書きます)

手順が長いので、流れを概括します。

△BHG∽△BFE(直角と共通角
対応する角で∠BHG=∠BFE
対頂角から∠BHG=∠EHF
△EHFは二等辺になる⇒EH=EF

続いて、△BEI≡BJI(一辺両端角)
BE=BJ
さらに、△BFE≡△BFJ(2辺と間の角)
EF=FJ

EH=EF=FJとなり、EH=FJが導ける。

@別解@

△BGHにおいて、∠HGB=、∠BHG=×とする。
×=90°をもとに角度を調査していく。
△BEFで∠BFE=×
∠EHFは対頂角で×
△EFHは底角が等しいので二等辺三角形。
EH=EF
△EIFで∠IEF=

∠JBF=∠JEFに注目!
2点B、Eが直線JFについて同じ側にあり、∠JBF=∠JEFが成り立つので、
円周角の定理の逆により、4点B・E・F・Jは同じ円周上にある。
四角形BEFJが円に内接するので、円周角の定理から∠EBF=∠EJF
△EFJは底角が等しいので二等辺三角形⇒EF=FJ
EH=EF=FJより、EH=FJ

*備考*
△FIJで∠IFJ=×、△FBJで∠FJB=90°
(もしくは、内接する四角形の対角の和が180°であるから、
∠FJB=180-∠FEB=90°)
∠EGB=∠FJB=90°から同位角が等しくなり、EH//FJ
EH=FJなので、1組の対辺が等しくかつ平行→
四角形EHJFは平行四辺形。
加えて、対角線HFとEJが直交するので、四角形EHJFは菱形となる。

最後の証明はいじわる(;^ω^)
穴埋め形式で良かったんじゃないかな?
どこもそうでしたが、幾何は難所にきやすいです。
以下、公式からの概評。

期待された正答率をあげよう(σ’д’)σ
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