2021年度 群馬県公立高校入試過去問【数学】解説

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出題範囲の除外は標本調査。

大問1(小問集合)

(1)①
2-(-5)
=2+5=7


4x-2x×1/2
=4x-x=3x


-6a32÷(-4ab)
=3/2a2

(2)
(2x-y-6)+3(x+y+2)
=5x+2y ←ここで代入。
=5×(-2)+2×3
=-4

(3)
ネジレ…延長しても交わらない、かつ平行でもない。
辺CF、辺DF、辺EF

(4)
√24=2√6
根号のなかが平方数になれば、根号が外れて自然数になる。
n=6

(5)
反比例ではxとyの積が比例定数aで一定。
a=2×(-2)=-4
y=-4/x

(6)
三平方の定理で、BC=√13cm

(7)
20人の中央値(メジアン)は10番目と11番目の平均値。
中央値が50回ということは、11番目~20番目は50回以上。
→50回以上が少なくとも10人はいる。

(8)
説明問題。
はじめのAの量をxmLとすると、Bの量は2xmL。
(x+140):2x=5:3
外項と内項の積より、
(x+140)×3=2x×5
7x=420
x=60
60mL

(9)
y=ax2の変化の割合は一定しない。
y=1/2x2において、x=1のとき、y=1/2。
x=3のとき、y=9/2
変化の割合…(yの増加量)÷(xの増加量)=(9/2-1/2)÷(3-1)=2

グラフで示すとx軸は時間、y軸は距離。
距離÷時間で算出される傾き(変化の割合)は平均の速さにあたる。

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qに増加するときに変化の割合はa(p+q

1/2×(1+3)=2

大問2(図形の性質)

(1)
そもそも平行四辺形は対角線が各々の中点で交わり、
2組の対辺が等しく、2組の対角も等しいから、ア・エ・オが自ずと消える。

長方形は4つの角が等しい⇒平行四辺形の隣り合う角が等しくなると4つの角が等しくなる。
菱形は4辺が等しい⇒平行四辺形の隣り合う辺が等しくなると4辺が等しくなる。
①…ウ、②…イ

(2)
対角線が垂直に交わる。
*正方形は4辺の長さが等しいほか、対角線の長さが等しく、かつ直交する。
長方形の対角線の長さは等しいが直交しない。

大問3(整数)

(1)
十の位がa、一の位がbの整数A。
A=10a+b

(2)
説明問題。
問題文を文字式に変換すると…
(10b+a)÷2=(10a+b)+1
19a-8b=-2 …①
(a+b)×3=(10a+b)-4
7a-2b=4 …②

①と②の連立を解くと、
a=2、b=5
A=25


大問4(図形の作図)

(1)

半径が等しいから、△ABPは二等辺三角形。
ア…B、イ…BA、ウ…BP

(2)①
円の作図ではなく、直径に対する円周角が90°であることから、
Aからℓに垂線をおろしても二等辺が作れるが、点Pと重なるので×!

先ほどはBA=BPを等辺とした二等辺三角形だったので、これ以外を考えてみる。
AB=APだと、ABの長さよりA~ℓ間の距離のほうが遠いので、Pがℓ上にこない。
残りはPA=PBしかない

ABの垂直二等分線。ℓとの交点がPとなる。


なぜ①の作図になるのか、理由を説明する。
ズバリ、『ABの垂直二等分線は2点A、Bからの距離が等しい点の集合だから』。
PA=PBで△ABPは二等辺三角形であるといえる。
*点が集合して線になる。

大問5(数量変化)

(1)①

PがOを抜く前。
Pは毎秒3cmの速さだから、x秒後には3xcm移動している。
OP間の距離がy。
y=20-3x
y=-3x+20



OがPを抜いた後。3xと20が逆転する。
y=3x-20


円の直径は20cm、Pの速さは毎秒3cmなので…
20÷3=20/3秒間

(2)
発想力が求められる(´ω`).。0

Pの出発と同時に円Oがしぼんでいく。
はじめはPが円Oを追っかける展開になる。


毎秒3cmのPが毎秒1cmの円の右端を追っかける。
1秒あたり、3-1=2cmずつ近づいていくので、
Pが円の右端と重なるのは、10÷2=5秒後

このときにPが円の周上にくるのでカウントが始まる。

5秒後の様子。円の半径は5cmにしぼんでいる。
円の左端とPは10cm離れており、1秒あたり、1+3=4cmずつ近づいていく。
Pが円の左端と重なるのは、10÷4=5/2秒後
Pが円Oの周上または内部にある時間は5/2秒間。


大問6(平面図形)

(1)

半径と接線は垂直に交わる。
正方形の内角より、∠OAB=∠OCB=90°なので、
円Oの接線は直線ABと直線BC。
ウ・エ

(2)
△CDG≡△CDHの証明。

仮定より、∠CGD=∠CHD=90°
共通辺CD。
ここまではわかりやすい。
辺の情報が乏しいので、等しい1鋭角を模索する。

CF//HDより、錯角で∠CDH=∠DCF

点F、C、Dの位置関係に注目。
FC、FDは円Oの接線であり、C、Dが接点にあたる。
円外の点から引いた2本の接線の長さは等しい
FC=FD
△FCDは二等辺三角形であり、∠DCF=∠CDF
まとめると、∠CDG=∠CDHとなり、斜辺と1鋭角が等しい直角三角形ゆえ合同。

(3)①

△BEFは辺の比が3:4:5の直角三角形→FE=10cm
前問の証明で用いた二等辺三角形FCDより、FC=FD(
…EDとEAも同じっぽい( ^ω^)・・

それらを1辺とする△EDOと△EAOに着目する。
半径でDO=AO、共通辺EO。
半径と接線は垂直だから∠EDO=∠EAO=90°
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形なので、△EDO≡△EAO
対応する辺は等しいから、やはり、ED=EA(

FE==10cm
CB+BA=(CF+FB)+(BE+EA)
=(+6
)+(8+)=24cm
正方形の2辺の和が24cmだから、1辺の長さは12cm。


△FEBと△ODHが∽っぽい。

×=90°で角度を調査していく。
ここで、四角形DOAEに注目すると、∠EDO+∠EAO=180°
対角の和が180°だから、四角形DOAEは円に内接する四角形である。
そして、内接四角形の内角は、その対角の外角に等しい
∠FEB=∠DOA=×
∠HOD=90-×
2角相等で、△FEB∽△ODH。

辺の比はFE:OD=10:12=5:6
面積比は辺の比の2乗。△FEB:△ODH=25:36
△FEBの面積を36/25倍すればいい。
△ODHの面積は、8×6÷2×36/25=
864/25cm2

@別解@

錯角のほうがわかりやすかったかもしれない(;^ω^)
∠ODH=90-×→2角相等→∽

大問1
(9)文字を確認。x秒は時間、ymは距離。
距離÷時間=速さ。傾きである変化の割合は平均の速さです。
大問2
図形の性質を正確におさえる。ツメが甘いと間違える。
大問4
(2)①二等辺三角形はどこを等辺とするかで3パターンある。
大問5
設定がユニークである。
直線ℓと交わる円周上の2点と中心Oだけを考えればいい。
(2)算数で解いてしまった。
大問6
(2)接線の長さが等しい。これを利用しないと面倒なことに。
(3)①等辺を図示しよう。
②相似っぽい⇒相似の証明。
直角がわかっているので、残りの1角を頑張って見つける。●+×=90°で調査。

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