2023年度　埼玉県公立高校入試・学校選択過去問【数学】解説

平均50.5点（前年比；＋7.9点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）　75.2％
10ｘｙ²×（－２/３ｘｙ）²÷（－５ｙ²）
＝10ｘｙ²×４/９ｘ²ｙ²÷（－５ｙ²）
＝－８/９ｘ³ｙ²

（２）　75.2％
恒例の対称式。
ｘｙ＝（３＋√７）（３－√７）＝９－７＝２
ｘ＋ｙ＝（３＋√７）＋（３－√７）＝６
ｘ－ｙ＝（３＋√７）－（３－√７）＝２√７

ｘ³ｙ－ｘｙ³
＝ｘｙ（ｘ²－ｙ²）
＝ｘｙ（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）　←ここで代入
＝２×６×２√７
＝24√７

（３）　84.8％（一部正答0.3％）
（５ｘ－２）²－２（５ｘ－２）－３＝０　←（５ｘ－２）＝Ｘに置き換える
Ｘ²－２Ｘ－３
＝（Ｘ－３）（Ｘ＋１）
＝（５ｘ－２－３）（５ｘ－２＋１）
＝（５ｘ－５）（５ｘ－１）
＝５（ｘ－１）（５ｘ－１）＝０
ｘ＝１/５、１

（４）　92.1％
共通問題と同様。
全数調査は調査対象すべてを調べ上げる。
標本調査は母集団のなかから標本を無作為に抽出して、母集団の様子を推し量る。

総務省統計局が５年に１度行う国勢調査は全数調査の代表例。
国の基礎的な統計資料として国策の判断に使われる。
健康診断も個々人のデータをとらなければ意味がないので全数調査。
河川の水質調査とテレビの視聴率は一部を調べる標本調査。
ア・ウ

＠テレビの視聴率＠
標本（サンプル）の大きさはどの程度求められるか。
大学レベルの統計学の知識が求められると思うのでサボにはわかりませんが、
視聴率を計測する機器が設置されているテレビの台数は、
全体の0.01％にも満たないようですｗ( ﾟДﾟ)ｗ
視聴率調査に協力している人を全く見掛けない理由（ねとらぼ）
↑この記事によると、2017年10月時点で調査対象世帯は全体の0.00005％以下となっている…。

それだけで残りの99.999…％以上を推し量って良いものなのか疑問に思われますが、
統計学的には十分信頼するに足りるサンプル数なんだとか。
どうやら母集団が大きくなるほど、標本の大きさは思ったより小さくても間に合うようです。
反対に母集団が小さいと（例えば１つのクラス内での動向では）多くの標本をとらなければならない。

（５）　83.8％
共通問題と同様。
３枚の硬貨を投げた結果は、２³＝８通り
100円玉が表になれば100円以上になるので、余事象で考えてみる。
100円未満は〔３枚すべて裏〕〔２枚の50円玉のうち１枚が裏〕の３通り。
100円以上は５通りで、確率は５/８。

（６）　36.6％
共通問題と違い、図が与えられていない。

断面の円の半径は、三平方から√（７²－４²）＝√33ｃｍ
断面の円の面積は、√33×√33×π＝33πｃｍ²
*誤答は９πが多かった。

（７）　48.2％（一部正答20.1％）

正四面体を横で切った立体になる。
頂点…６個、辺…９本、ＡＢとねじれの位置にある辺…赤線の２本
（*延長して交わったらネジレではない！）

＠オイラーの多面体定理＠
【頂点の数－辺の数＋面の数＝２】
ドーナツのような穴のある多面体でなければ、どんな多面体でも成り立つ定理です。
本問の立体であれば、６－９＋５＝２

（８）　73.3％
Ｘの百の位をａ、一の位をｂとする。
Ｘ＝100ａ＋70＋ｂ
Ｙ＝100ｂ＋70＋ａ

Ｘ－Ｙ
＝（100ａ＋70＋ｂ）－（100ｂ＋70＋ａ）
＝99ａ－99ｂ
＝99（ａ－ｂ）＝396
ａ－ｂ＝４　…①
仮定より、ａ＋ｂ＝15－７＝８　…②
①、②の連立を解くと、ａ＝６、ｂ＝２
672

（９）　44.9％（一部正答2.3％）
ｙ＝２ｘ²はａ＞０だから下に凸のグラフ。

ｙの最小値０から、原点Ｏは必ず通過する。
ｙの最大値18を式に代入して、18＝２ｘ²
ｘ＝±３も必ず通過しなくてはならない。
ａ≦ｘ≦ａ＋４はｘ座標の差が４。
条件を満たすａは上図より、ａ＝－１、－３

（10）　38.6％（部分正答9.2％）

18人のＱ2（第２四分位数；中央値）は９番目と10番目の平均。
30～40分、40～50分いずれかの階級に含まれる。
Ｑ1（第１四分位数）は下位９人の真ん中、下から５番目。
Ｑ3（第３四分位数）は上位９人の真ん中、上から５番目。
ヒストグラムと箱ひげ図で値が明確に異なるのはＱ3。
ヒストグラムのＱ3は40分以上50分未満の階級に含まれるが、
箱ひげ図のＱ3は50分以上の60分未満の階級に含まれる。

大問２（作図＆証明）

（１）　26.4％！（一部正答35.0％）
∠ＢＰＡ＝15×２＝30°となる回転の中心Ｐを作図する。

ＡとＢは円周上の２点。
Ａが反時計回りに回転移動した点がＢだから、
回転の中心ＰはＡＢの垂直二等分線上の左側にある。
ＡＢの長さをとり、ＡとＢそれぞれから弧を描く。
左側の交点をＯとすると、△ＯＡＢは３辺が等しい正三角形。
∠ＢＯＡ＝60°
円周角は中心角の半分だから、∠ＢＰＡ＝60÷２＝30°
Ｏを中心に円弧を描き、Ｂの反対側の交点がＰである。

（２）　23.4％！（一部正答66.0％）

まず、等角の指摘に必要なＢＨ//ＦＤを証明しておく。
四角形ＤＨＢＦはＨＤ//ＢＦ、ＨＤ＝ＢＦより、
１組の対辺が平行で、かつ長さが等しいから平行四辺形→ＢＨ//ＦＤ

平行四辺形の対辺は等しい。ＡＢ＝ＣＤ
仮定からＡＥ＝ＣＧ（▲）なので、ＢＥ＝ＤＧ（●）がいえる。
錯角で、∠ＢＥＩ＝∠ＤＧＪ
対頂角と同位角より、∠ＥＩＢ＝∠ＧＩＨ＝∠ＧＪＤ
残りの角から、∠ＥＢＩ＝∠ＧＤＪ
１辺両端角が等しいので合同。

大問３（規則）

（１）　72.9％（一部正答16.8％）
共通問題と同様。
●偶数の中では唯一、ｎ＝６のときだけ0.16666…と無限小数が起きている。
●１桁の奇数ではｎ＝５が有限小数だった。２桁の奇数において５の倍数に絞って考える。
問題文では20と32のあいだにイがあり、この範囲にある５の倍数の奇数は25しかない。
１/25＝４/100＝0.04（←有限小数）
ア…６、イ…25

（２）　52.1％（一部正答11.9％）
１÷７＝0.1428571428…
〔１４２８５７〕がループする。
この６個の数を１周とすると、30÷６＝５
30番目は５周目の終わりの７。

１周の和は、１＋４＋２＋８＋５＋７＝27
５周の和は、27×５＝135
小数第30位の数…７、和…135

大問４（関数）

（１）　84.8％

ｙ＝ａｘ²は下に凸のグラフ。ａ＞０
ｙ＝ｂｘ＋ｃは右下なので傾きｂ＜０、切片ｃ＝０
ｂ＜ｃ＜ａ（ａ＞ｃ＞ｂ）

（２）①　15.5％！（一部正答46.2％）
答案では説明も記述する。

台形ＰＳＲＱはｘ軸について上下対称。
切片ｃの値を大きくすると、台形の上底ＰＳ、下底ＱＲ、高さが長くなり、
台形ＰＳＲＱの面積は２乗に比例する形で大きくなる。
ア
*イを選択する誤答が多かった。

②　3.6％!!（一部正答7.3％）

各点の座標を文字で表す。
ｙ＝ａｘ²にｘ＝－１、２を代入して、Ｐ（－１、ａ）Ｑ（２、４ａ）
Ｓはｘ軸に関してＰと対称だから、Ｓ（－１、－ａ）

ＰＱの傾きはＰから右に３、上に３ａだから、３ａ÷３＝ａ
これはｙ＝ｂｘ＋ｃの傾きｂに相当するので、ａ＝ｂ
ＳＱの傾きはＳから右に３、上に５ａだから、５/３ａ＝１
ａ＝ｂ＝３/５

ｙ＝３/５ｘ＋ｃにＰ（－１、３/５）を代入して、
３/５＝３/５×（－１）＋ｃ
ｃ＝６/５

小さい円錐と大きい円錐の相似比は①：④。
体積比は相似比の３乗。
小さい円錐の体積を①³＝１とすると、大きい円錐の体積は④³＝64
回転体の円錐台の体積は、小さい円錐を63倍すればいい。
３/５×３/５×π×１÷３×63＝189/25πｃｍ³
ａ＝３/５、ｂ＝３/５、ｃ＝６/５、体積…189/25πｃｍ³

大問５（空間図形）

（１）　53.1％
共通問題と同様。

最短距離なので、展開図を作成。
△ＩＥＧ∽△ＰＦＧより、ＰＦ＝２×４/８＝１ｃｍ
ＢＰ＝６－１＝５ｃｍ
Ｐは秒速１ｃｍだから５秒後。
*誤答は４秒後が多かった。

（２）　4.6％!!（一部正答8.6％）
答案には途中の説明も書かなくてはならない(´ﾟдﾟ｀)

断面を正確に捉える。
Ｉから２ｃｍ上がってＰ・Ｑ。さらに２ｃｍ上がって断面はＣを通過する。
Ｐ、Ｑを通る面ＡＢＣＤに平行な面とＡＩの交点をＲ、ＣＧとの交点をＳとする。
三角錐Ｉ―ＰＱＲと三角錐Ｃ―ＰＱＳにおいて、
底面の△ＰＱＲと△ＰＱＳは正方形を２つに割った直角二等辺で合同。
高さはＩＲ＝ＣＳ＝２ｃｍから、２つの三角錐は体積が等しい。

平均の発想で三角錐Ｉ―ＰＱＲを三角錐Ｃ―ＰＱＳに移動させると、
求積すべき立体は直方体になる。
４×４×２＝32ｃｍ³

（３）　0.3％!!!

接点のあたりを分析したいので、△ＩＰＱが直線にみえる面ＡＥＧＣを切り取る。
球の中心をＯ、接点をＴとする。
半径と接線は直交するので、ＯＴ⊥ＩＰ。
ＢＰが知りたいが求めづらい。
ＯＦ＝２ｃｍなので、ＰＯの長さを出せないか。
△ＰＴＯに関する情報が欲しい。

ＩとＯが同じ高さにある点に注目する。
ＩＯの長さは、直角二等辺ＥＦＧの斜辺ＥＧの半分。
ＩＯ＝４√２÷２＝２√２ｃｍ

直角三角形ＴＩＯにおいて、ＴＯ＝２ｃｍ、ＩＯ＝２√２ｃｍということは、
三平方の定理から、辺の比が１：１：√２の直角二等辺三角形。
45°を記していくと、△ＰＴＯも△ＰＩＯも直角二等辺である。
△ＰＴＯの辺の比から、ＰＯ＝２√２ｃｍ
ｘ＝ＢＦ－ＰＦ＝６－（２√２＋２）＝４－２√２