2023年度　奈良県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均24.4点（前年比；－1.9点）

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大問１（小問集合）－71.9％

（１）①　97.2％
７－（－６）
＝７＋６
＝13

②　90.3％
15＋（－４）²÷（－２）
＝15＋16÷（－２）
＝15－８
＝７

③　86.8％
（ｘ＋２）（ｘ－５）－２（ｘ－１）
＝ｘ²－３ｘ－10－２ｘ＋２
＝ｘ²－５ｘ－８

④　92.5％
√２×√６－√27
＝２√３－３√３
＝－√３

（２）　90.4％
ｘ＋４ｙ＝５　…①
４ｘ＋７ｙ＝－16　…②

①×４－②をすると、９ｙ＝36
ｙ＝４
①に代入、ｘ＋16＝５
ｘ＝－11
ｘ＝－11、ｙ＝４

（３）　90.0％
ｘ²＋５ｘ＋１＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（－５±√21）/２

（４）　69.2％
ａ＜０、ｂ＜０
引き算と掛け算、割り算はマイナスとマイナスがプラスに変わる。
足し算（ａ＋ｂ）が最も小さい値になる。

＠＠
適当な値を代入してもＯＫ。
ａ＝－１、ｂ＝－２とすると、
ａ＋ｂ＝－１＋（－２）＝－３
ａ－ｂ＝－１－（－２）＝１
ａｂ＝－１×（－２）＝２
ａ/ｂ＝－１÷（－２）＝１/２

（５）　64.0％
体積比は相似比の３乗。
Ａ：Ｂ＝２³：３³＝８：27
Ｂの体積は、24×27/８＝81ｃｍ³

（６）　79.3％
全体は、２³＝８通り
３回目で原点Ｏに戻るには、＋１＋１－２＝０
表を２回、裏を１回出せば良い。
３回のうち裏をどの回で出すか→３通り
確率は３/８

（７）　62.9％

△ＰＡＢはＡＢを底辺とする二等辺三角形。
ＰはＡとＢから等距離にあるので（ＰＡ＝ＰＢ）、ＰはＡＢの垂直二等分線上にある。
また、ＡＢ//ＰＣから同位角は90°で等しく、Ｃを通る垂線との交点がＰとなる。
公式解答より。

（８）　28.9％！

ア：中央値は累積相対度数が0.50のときの値。
１年生（▲）が３年生（●）より左にある→１年生の方が中央値は小さい。×
イ：20分未満の累積相対度数はいずれも0.50を超えているので、半分以上いる。〇
ウ：累積相対度数はあくまでも割合。１年生は75人、３年生は90人。
全体の人数（度数）が違えば、それぞれの76％の人数も異なる。×
エ：25分以上30分未満の相対度数＝30分の累積相対度数－25分の累積相対度数
１年生の度数…75×４％、３年生の度数…90×14％だから、３年生の方が多い。〇
オ：累積相対度数が0.76で逆転するが、それまでは▲が左側に寄っている。
およそ３/４の割合で１年生の方が通学時間が短い。〇
イ・エ・オ
*誤答はア・ウもしくはイ・エが多かった。

大問２（平面図形）－30.6％

（１）①　54.9％

半径と接線は直交する。ＯＰ⊥ＸＹ、ＯＱ⊥ＸＺ
四角形ＸＰＯＱの内角から、∠ＰＯＱ＝360－（90＋90＋45）＝135°
*誤答例は105、120。

②　38.4％
△ＸＰＯと△ＸＱＯに着目すると、
∠ＯＰＸ＝∠ＯＱＸ、ＯＰ＝ＯＱ（半径）、共通辺ＯＸより、
斜辺と他の１辺が等しいから合同。
∠ＯＸＰ＝∠ＯＸＱだから、ＸＲは∠ＹＸＺの二等分線である。
「辺」と「距離」を用いてＸＲ上にある点を説明するので、
答えは『２辺ＸＹ、ＸＺから距離が等しい点』
*誤答は、辺と辺との距離など。

③　3.6％!!

ＸＰとＱＯの延長との交点をＳとする。
△ＸＳＱの内角は45°―45°―90°だから直角二等辺三角形→∠ＰＳＯ＝45°
△ＰＳＯも同様に直角二等辺で辺の比は１：１：√２→ＳＯ＝２√２ｃｍ
ＳＱ＝２＋２√２ｃｍ
ＸＱ＝ＳＱ＝２＋２√２ｃｍ
△ＸＰＯ≡△ＸＱＯより、ＸＰ＝ＸＱ＝２＋２√２ｃｍ
*誤答例―２√３、４

（２）①　82.2％

∠ＢＡＤ＝90°と∠ＢＸＤ＝45°を、弧ＢＤに対する中心角と円周角の関係で捉えると、
Ｘ・Ｂ・ＤはＡを中心とする円Ａの円周上にある。
半径より、ＸＡ＝ＡＢ＝ＡＤ
ＡＸは正方形ＡＢＣＤの１辺の長さに相当する。
イ

②　0.8％!!!

大事な情報はココ↓
『２点Ｂ、Ｄの位置が変わっても、２点Ｘ、Ａの間の距離について同じことがいえる』
『同じこと』は前文の太郎のセリフ。
つまり、ＸＡの長さはＢとＤが移動しても正方形ＡＢＣＤの１辺の長さで変わらない。
正方形が通過できない端の部分は半径３ｃｍ、中心角45°の扇形となる。
Ｙ側も同様で、通過できない部分を合わせると半径３ｃｍの４分の１円なので、
通過できる部分の面積は、10×10÷２－３×３×π÷４
＝50－９/４πｃｍ²
*誤答例―７、６、41

大問３（関数）－46.7％

（１）　73.4％
ｙ＝－１/２ｘ²について、
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
ｘ＝－４のとき、最小値ｙ＝－８
－８≦ｙ≦０

（２）　76.3％
ｙ＝－１/２ｘ²にそれぞれのｘ座標を代入する。
Ｃ（－４、－８）→Ｄ（２、－２）
右に６、上に６だから傾きは１。
Ｃから右に４、上に４移動して、切片は－８＋４＝－４
ｙ＝ｘ－４

（３）　45.1％

実際に描いてみる。
ａを大きくすると、放物線の開きは小さくなる。
ア：ＡＢの傾きは急になる→一次関数の傾きは小さくなる。〇
逆に、ａを小さくするとＡＢの傾きは緩やかになる。こちらの方が判断しやすいかもしれない。
イ：傾きが急→ＡＢがより斜めになるので、ＡＢは長くなる。×
ウ：Ｅの位置が上にあがるから、△ＯＡＢの面積は増加する。×
エ：ＡＥ：ＥＢ＝４：２＝２：１で一定。×
ｘ＝－４、０、２の平行線に注目し、平行線と線分の比を使うと見えやすい。
ア

（４）　10.7％！

Ａ（－４、16ａ）Ｂ（２、４ａ）
ＤＯを延長、ＡＣとの交点をＦとする。
ＦＤが四角形ＡＣＤＢの二等分線になる。
Ｄから左に２、上に２でＯだから、Ｏから左に４、上に４でＦ（－４、４）

ＦＣ＝４－（－８）＝12
ＡＦ＝16ａ－４、ＢＤ＝４ａ－（－２）＝４ａ＋２
四角形ＡＣＤＢは台形なので、上底と下底の和が等しいと面積が等しくなる。
すなわち、ＡＦ＋ＢＤ＝ＦＣ
（16ａ－４）＋（４ａ＋２）＝12
20ａ＝14
ａ＝７/10
*誤答例―１、１/２

大問４（平面図形２）－31.1％

（１）　60.3％
△ＡＥＦ∽△ＢＣＥの証明。

仮定から∠ＡＦＥ＝∠ＢＥＣ＝90°
弧ＤＣに対する円周角で、∠ＥＡＦ＝∠ＣＢＥ（●）
２角が等しいから∽。

（２）　43.0％

弧ＣＤの円周角より、∠ＥＢＧ＝ａ
∠ＡＥＦ＝ｂとする。
△ＡＥＦの内角から、ａ＋ｂ＝180－90＝90°
∠ＡＥＤ＝90°なので、∠ＦＥＤ＝90－ｂ＝ａ
対頂角で、∠ＢＥＧ＝ａ
△ＢＧＥの内角で、∠ＢＧＥ＝180－２ａ°
*誤答例―180－ａ、90－ａ

（３）①　23.3％！

ＤＥ＝３ｃｍ、ＡＥ＝４ｃｍから、△ＡＥＤは３：４：５の直角三角形。
対頂角や円周角から２角相等で△ＡＥＤ∽△ＢＥＣ
△ＢＥＣの辺の比も３：４：５→ＥＣ＝６ｃｍ

前問のａ＝●、ｂ＝×、●＋×＝90°として角度を調べると、
∠ＧＥＢ＝●、∠ＧＥＣ＝×
△ＧＥＢと△ＣＥＧは底角が等しい二等辺三角形。
ＢＧ＝ＥＧ＝ＣＧより、ＧはＢＣの中点である。
△ＣＥＧの面積は△ＢＣＥの半分だから、８×６÷２÷２＝12ｃｍ²
*誤答例―15、18、72/７

②　1.8％!!

唐突に半径を求めさせられる(;´･ω･)
どの線分も中心Ｏを通らないので、半径を斜辺とする直角三角形で三平方を試みる。
半径ＯＢ＝ＯＣ、△ＯＢＣは二等辺三角形。
頂角Ｏから底辺ＢＣの中点Ｇに直線をひくと直交する。ＯＧ⊥ＢＣ

これだけでは情報が足りないので、広い視点でみてみる。
ＡＣ＝ＢＣ＝10ｃｍに着目してＡＢに補助線を描く。
ＡＢの中点をＨとすると、△ＡＢＣは二等辺三角形だから先と同様にＣＨ⊥ＡＢ

また、中心ＯはＡＢの垂直二等分線であるＣＨ上にある。
（中心点の作図方法を思い出そう。ＯはＡとＢから等距離にある）
逆に言えば、ＣＯを延長するとＨを通過することになる。

∠ＯＣＧ＝×、∠ＣＯＧ＝●、●＋×＝90°で等角を記していく。
△ＢＣＨの内角で、∠ＨＢＣ＝●
二等辺ＡＢＣの底角で、∠ＣＡＢ＝●
∠ＡＥＢ＝90°だから、△ＡＥＢの内角は●―×―90°
２角相等より△ＯＧＣ∽△ＡＥＢ

ＡＥ：ＢＥ＝４：８＝①：②
△ＡＥＢの辺の比で三平方→ＡＢ＝〇√５
ＡＢ：ＥＢ＝ＯＣ：ＧＣ＝〇√５：②
半径ＯＣ＝５×〇√５/②＝５√５/２ｃｍ
*誤答例―５√３/２、６

＠余談＠
思いっきり高校分野に入るので参考程度に載せておきます。

△ＡＢＣは円Ｏに内接している。
数Ⅰで習う正弦定理を使うと、外接円の半径Ｒを求めることができる。
正弦定理【ｃ/sinＣ＝２Ｒ】

△ＡＥＢで三平方→ＡＢ＝４√５ｃｍ
余弦定理からcosＣ＝（ａ²＋ｂ²－ｃ²）/（２ａｂ）＝（100＋100－80）/（２・10・10）＝３/５
sin²Ｃ＋cos²Ｃ＝１より、sin²Ｃ＝１－（３/５）²＝16/25
sinＣ＝４/５
正弦定理から外接円の半径Ｒ＝ｃ/（２sinＣ）＝４√５/（２×４/５）＝５√５/２ｃｍ