2017年度　千葉県公立高校入試【後期】数学解説

平均５８．８点

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大問１（計算）－91.0％

（１）　98.3％
－５＋（－４）
＝－５－４
＝－９

（２）　96.4％
（－４）² －８×３/２
＝１６－１２
＝４

（３）　84.8％
（２ｘ＋ｙ）/３＋（ｘ－ｙ）/２
＝（４ｘ＋２ｙ＋３ｘ－３ｙ）/６　←全てを６で通分
＝（７ｘ－ｙ）/６

（４）　92.8％
６/√２＋√８
＝３√２＋２√２　←有理化
＝５√２

（５）　85.2％
七角形の内角の和を求める。
ｎ角形の内角の和→１８０（ｎ－２）
１８０×（７－２）＝９００°

（６）　88.3％
ｘ² －５ｘ－６
＝（ｘ－６）（ｘ＋１）  　解の公式は不要

大問２（小問集合）－57.9％

（１）　80.4％
平均値…（０×２＋１×３＋２×２＋３×５＋４×６＋５×２）÷２０＝５６÷２０＝２．８回
最頻値は度数の多い階級値→４回　　　よって、ア

（２）　58.8％
高さを三平方で求める。１：２：√３の直角三角形だから、高さは３√３ｃｍ
よって、３×３×π×３√３÷３＝９√３ｃｍ³

（３）　70.4％
下に凸のグラフを書いてみると、ｙの最小値はｘ＝０のとき！
ｘ＝０のとき、最小値：ｙ＝０
ｘ＝－４のとき、最大値：ｙ＝８
０≦ｙ≦８

（４）　71.8％
Ｂに止まるパターンと、Ｅに止まるパターンを足せば良い。
Ｂ：和が１はない。和が９→（３、６）（６、３）（４、５）（５、４）
Ｅ：和が４→（１、３）（３、１）（２、２）　和が１２→（６、６）
計８通り　　８/３６＝２/９

（５）　8.2％!!
今年の千葉は後期も容赦なかった((;ﾟдﾟ))
∠ＡＰＢ＝３０°、∠ＡＰＣ＝９０°となる点Ｐを描きたい。
点Ｐは△ＡＢＣ上にくるわけでもないので、△ＡＢＣにこだわらない方が良い。
ポイントは円周角の定理
そこに気がつけても、もう少し思考を巡らせないと正解にたどりつけない。
　
∠ＡＰＢ＝３０°の作図
円周角の定理を使えば、点Ｐの候補地を円周で表せる。

↑中心角を６０°に設定すれば、円周角は一定なのでどこも３０°
　
ＡとＢを通る円の中心は、ＡＢを１辺とする正三角形の残りの頂点である。

↑ 正六角形の頂点と円の中心は同じ

次に∠ＡＰＣ＝９０°の作図
同様に円周角定理を用いて、点Ｐの候補地を円周で描く。

直径に対する円周角は直角であることを利用する。

ＡＢを１辺とする正三角形。
ＡＢの長さをとり、ＡとＢから印をつける。
交点はＡとＢを通る円の中心点。

クルッ（雑）
このどこかに点Ｐがある。

次に、ＡＣの垂直二等分線。
ＡＣを直径とする円の中心点はＡＣの中点だから。

交点を中心に円を書くと・・

こうなる。
青い円のどこかと、赤い円のどこかに点Ｐがあるので、
青い円と赤い円の交点が点Ｐとなる。
△ＡＢＣばかりに目がいってると、なかなか思いつけない。

大問３（関数）－57.5％

（１）　87.5％
ＡとＢはｙ軸を対称の軸として左右対称だから、Ｂのｘ座標は３
よって、Ｂ（３、９）

（２）　70.7％
Ｐ（１、１）　Ａ（－３、９）
あとはこれを通る直線の式を求めるだけ。
右に４いって下に８だから傾き－２
１＝－２×１＋ｂ　　ｂ＝３
ｙ＝－２ｘ＋３

（３）　14.4％！
△ＡＯＢと△ＰＡＢは底辺がＡＢで共通→高さが４：３

点Ｐとｙ軸との距離は、９×１/４＝９/４
Ｐ（３/２、９/４）
Ａ（－３、９）とＰを通る直線の式を求める。
連立方程式
９＝－３ａ＋ｂ
９/４＝３/２ａ＋ｂ
ａ＝－３/２、 ｂ＝９/２
ｙ＝－３/２x＋９/２
ｙ＝０のとき、ｘ＝３　　　（３、０）
後期は試験時間が４０分しかないので、迅速な計算力が求められる。

＠別解＠
連立がヤダ！という人は相似。

Ｐを通る垂線でＡＢとの交点をＱ、ｘ軸との交点をＲ、
ＡＰを延長してｘ軸との交点（求める座標の点）をＳとする。
△ＡＰＱ∽△ＳＰＲ
ＡＱ＝３＋３/２＝９/２
相似からＲＳ＝９/２×１/３＝３/２
Ｓのｘ座標は３/２＋３/２＝３となる。

大問4（平面図形）－51.7％

（１）
はじめは合同の証明。△ＡＢＲと△ＡＤＲを刮目する。
正方形の１辺　ＡＢ＝ＡＤ　→　ａ：イ　87.1％
共通辺で　　　ＡＲ＝ＡＲ
直角二等辺から∠ＢＡＲ＝∠ＤＡＲ＝４５°　→ｂ：オ　94.0％
２辺夾角（きょうかく：間の角）が等しいので合同。

ｃ：続いて、△ＰＲＢ∽△ＢＲＱの証明。　６点―19.9％　３点―6.9％　無答―44.4％
共通角∠ＢＲＰがあるので、もう１つの角が等しいことを指摘すれば良い。
前問の合同関係を用いる。
∠ＲＢＰ＝∠ＲＤＡ
ＡＤ//ＱＣから錯角で∠ＲＤＡ＝∠ＲＡＢ
したがって、∠ＲＢＰ＝∠ＲＡＢで２角が等しいとわかる。
筋道が立てやすいので正解したいところ。

（２）　5.7％!!
ＢＲは△ＰＲＢの１辺なので、前問の相似が利用できそう。
とりあえず、長さのわかる辺を調べていく。
ＡＰ：ＰＢ＝２：１から、ＡＰ＝４ｃｍ、ＰＢ＝２ｃｍ
△ＡＰＤ：△ＢＰＱ＝ＡＰ：ＢＰ＝４：２＝２：１
ＱＢ＝３ｃｍ

これで、△ＰＲＢ：△ＢＲＱ＝ＰＢ：ＢＱ＝２：３とわかった。
あとはＢＲに対応するＱＲがわかれば嬉しい。
△ＤＱＣで三平方。
ＤＱ＝√（６²＋９²）＝√１１７＝３√１３
△ＡＲＤ：△ＣＲＱ＝ＡＤ：ＣＱ＝６：９＝２：３
ＱＲ＝３√１３×３/５＝９/５・√１３
△ＰＲＢ：△ＢＲＱ＝２：３だから、
ＢＲ＝９/５・√１３×２/３＝６/５・√１３ｃｍ

＠別解＠
実は△ＲＢＣ≡△ＲＣＤ
ＢＣ＝ＤＣ（正方形一辺）、ＲＣ＝ＲＣ（共通辺）
∠ＲＣＢ＝∠ＲＣＤ＝４５°で二辺夾角が等しいから。
もしくは、ＡＣは正方形の対角線で前問の△ＡＢＲ≡△ＡＤＲから、
残りの△ＲＢＣと△ＲＣＤも対角線ＡＣを対称の軸として左右対称となる→合同
ＢＲ＝ＤＲ、ＤＱまで求めてＤＲ（②）をだせば良い。

△ＤＱＣの三平方は視野を広くみないと気づきにくい。
そこで、正方形内部でのＲの位置に着目しても可。

②（=12/5）と△３（=18/5）の三平方でＢＲが求まる。

大問５（回転移動）－31.1％

規則じゃなくなっている(´ﾟДﾟ`)
突然の心変わりでビビるが、規則よりやり易いかもしれない。
（１）　42.0％
頂点Ａの回転移動

↑合同図形があります。
理由は、ＯＡ＝ＯＡ’（半径）、○＋×＝９０°で記号をふっていくと
直角三角形の合同条件である、斜辺と１つの鋭角が等しくなる。
３と４は逆になる。　Ａ’（－４、３）

（２）　73.4％・6.8％！
ＯＡは３：４：５、ＯＡ＝５ｃｍ
問題はＯＣ・・

正三角形を縦に分割。
Ｃを通るＡＢに垂直な線分をひき、交点をＤとする。
△ＣＡＤは１：２：√３の直角三角形。
△ＣＯＤで三平方 。
ＯＣ＝√（√３²＋６²）＝√（３＋３６）＝√３９ｃｍ

ＯＣを１辺とする直角三角形を、どこに見定めるか。
△ＣＡＤ→△ＣＯＤと視点を変えられるか。
次にも関わるので、合否の分水嶺（ぶんすいれい）となる重要な問題。

（３）　2.2％!!
見慣れた形である。移植

左の赤を右の赤へ移植すると・・
デカい４分の１円から小さい４分の１円をひくだけ。
√３９×√３９×π×１/４－５×５×π×１/４
=（３９－２５）×π×１/４
＝１４/４π＝７/２πｃｍ²

解法はわかりやすいが、前問をミスるとドミノ式で本問も失点する。
２題で配点が８なので上位校受験者は落とせない。恐怖の落とし穴。
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